630 FRANCESCO SEVERI 



è segata su F, fuori della linea doppia, dalla prima polare di 0, 

 avremo {K,J) = m{n — 1) — X, e quindi il carattere d'immer- 

 sione di K sarà espresso da ni{n — 4) — \. 



Se dunque esistono superficie d'ordine n — 4 aggiunte a F, il 

 carattere d'immersione di K esprime precisamente il n'^ delle inter- 

 sezioni di K con un'aggiunta d'ordine n — 4, ^uori della linea 

 doppia (*). 



2. — Quando F trasformasi birazionalmente nella F* la 

 jacobiana ./ della rete [ C\ generica rispetto agli elementi fon- 

 damentali della trasformaziofle, si muta in una parte della jaco- 

 biana della rete trasformata, la quale deve completarsi aggiun- 

 gendovi le curve che corrispondono ai punti fondamentali di Fi**). 

 Da ciò segue che se una curva K di F passa con i (> 0) rami 

 complessivamente per punti fondamentali di i^, e incontra in 

 i*(>0) punti complessivamente le curve fondamentali esistenti 

 su F, dicendo K* la sua trasformata si avrà 



i* -}- caratt. d'imm. K* = i + caratt. d'imm, K, 



la qual relazione prova che il carattere d'immersione di una 

 curva su F è un invariante relativo nelle trasformazioni birazio- 

 nali di ir (***). 



(*) Si può anche dire che il carattere d'immersione di K esprime il 

 n° complessivo delle intersezioni di K con una curva canonica e con le 

 curve eccezionali di F. 



(**) Ora e nel seguito parlando di punti fondamentali su i^ o su jP*, 

 intenderemo che siano ordinari. L'ipotesi non è restrittiva, perchè ogni 

 trasformazione birazionale fra F e F* può sempre riguardarsi come pro- 

 dotto di un n° finito di trasformazioni birazionali operate in una catena di 

 superficie delle quali la prima sia F, l'ultima F*, e tali che la trasforma- 

 zione fra due successive non abbia in esse che punti fondamentali ordinari. 



(***) Un'applicazione di quest'invarianza relativa può farsi a determinare 

 la molteplicità della jacobiana J di |C| in un punto base s-plo 0. Trasfor- 

 miamo F con una trasformazione birazionale che abbia su essa come unico 

 elemento fondamentale 0. La \C\ darà una rete |C*| nella superficie tras- 

 formata F*, e la jacobiana J* di \C*\ sarà in generale la trasformata della 

 jacobiana J (ma potrebbe in casi particolari contenere anche una curva 

 addizionale). Una curva generica K per si muterà in una curva K* di 

 carattere d'immersione superiore d'un'unità a quello di K. Dicendo x il n" 

 delle intersezioni di K con .7 in 0, e calcolando il carattere di K* col sus- 



