IL GENERE ARITMETICO ED IL GENERE LINEARE, ECC. 631 



3. — Supponiamo adesso che la rete \C\ sia irriducibile, 

 priva di punti base e di curve fondamentali (*). Dicasi n il grado 

 di I (7| , 2? il suo genere, e tt il genere della sua jacobiana J. 

 Rappresentando projettivamente le C con le rette di un piano F*, 

 la superficie F verrà rappresentata sul piano ?i-plo F* (privo di 

 punti fondamentali) e la curva di diramazione J* di questo 

 piano sarà la omologa della jacobiana J. L' ordine di J* sarà 

 uguale al numero N dei punti in cui J è tagliata da una C; 

 ossia N=2n-\-2p — 2; e la classe di J* uguaglierà il n° delle C 

 dotate di punti doppi (staccati (**)) appartenenti ad un fascio 

 di \C\, numero che è espresso da ò = n -\- ip -{- 1, essendo I 

 l'invariante di Zeuthen-Segre relativo a F (Ved. la Nota citata 

 di Segre). — Con la considerazione di due convenienti serie 

 lineari su J* (o con le formolo di Pliicker) si ha: 



X + xV= 2ò -f 2tt — 2 ix = 6p-i-2n-\-2I 



ossia: (1) < 



T-\-ò = 2N-{-2ii — 2 ( T = 3w-|-2Tr — i — 6, 



ove X denota il numero dei flessi, e t il n° delle cuspidi della 

 curva J*. 



Sia A* un flesso di J*. La tangente d'inflessione a* rappre- 

 senterà una C, e sia C, con punto doppio nel punto ^ di / (omo- 

 logo di A* nella corrispondenza fra J e J*), e come J* ha 

 in -4* punto semplice, così la / avrà in A un punto semplice. 



sidio di |C'*| avremo: carati. K*=[{J,K) — x] — B\{C, K) — s], ossia: 

 caratt. Z'* = caratt. ^ — x-\-Ss. e poiché caratt. ^* = caratt. iiT -j- 1 verrà 

 r = 3s — r, ossia tale sarà in generale la moltiplicità di J in 0. 



Se il punto è punto base s-plo ordinario , con una trasformazione 

 quadratica si vede analogamente che J ha in punto (3s — l)-plo ordi- 

 nario, e che le sue tangenti ivi, se s > 1, sono le tangenti comuni ad al- 

 trettante coppie di rami lineari tali che ciascuna coppia appartiene ad 

 una C. Se s = 1 le tangenti di J sono le due taugenti alla C con punto 

 doppio in 0. 



(*j La ipotesi che facciamo relativa alla non esistenza dei punti base 

 non sarebbe necessaria. Estenderemo poi i resultati anche a reti con punti 

 base. Avvei'tiamo che siccome da questo momento considereremo sempre 

 reti irriducibili, ci dispenseremo dal ripetere l'aggettivo. 



('*) Cioè fuori della eventuale linea doppia di F. N(;l seguito si sottin- 

 tenderà quest'avvertenza. 



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