632 FRANCESCO SEVERI 



Di più come la a* conta due volte fra le tangenti condotte ad J* 

 per un punto generico di a*, mentre conta tre volte fra le tan- 

 genti condotte ad J* per A*, un fascio generico per la C con- 

 terrà all'infuori di C ancora b — 2 curve con punto doppio, e vi 

 sarà un particolar fascio per C che all' infuori di C conterrà 

 solo ò — 3 curve con punto doppio. Tutto ciò non può accadere 

 se la C ha in J. un nodo; d'altronde, se la rete \C\ non pre- 

 senta particolarità, l'unica ipotesi possibile è ormai che la C 

 abbia in A una cuspide ordinaria: se così è il punto A* sarà 

 effettivamente un flesso di J* (Ved. Segre, Nota cit.; fine della 

 pag. 5). 



Sia adesso A* una cuspide di ./* e a* la relativa tangente 



cuspidale. Rappresenterà una C, e sia C, con punto doppio nel 

 punto A omologo di J, e come una retta generica per A* 

 taglia altrove J* in N — 2 punti , e la sola a* taglia altrove 

 /* in JS' — 3 punti , così una curva generica fra quelle pas- 

 santi per A dovrà contenere solo N — 2 ulteriori punti di J 

 e soltanto la C ne conterrà N — 3. Siccome il punto A è sem- 

 plice per / (che l'ipotesi contraria porterebbe ad una particola- 

 rità nella rete |C|) si conclude che tutte le C per A toccano 

 ivi J e che anche la C ha uno dei due rami uscenti da A, tan- 

 genti ad /. Ne viene che la C e un'altra C per A si secano, fuori 

 di -4, in w — 3 punti e quindi che A è punto base d'osculazione 

 di un fascio di curve C. 



Sicché concludendo X 6 t denotano rispettivamente il n<^ delle 

 curve cuspidate della rete \C\, e il n° dei fasci di curve C che 

 si osculano. 



4. — Se la C, che indichiamo con C, avente punto doppio 

 in un certo punto A di J, tocca ivi / (la quale, se la rete |C| 

 è generica, non ha punti multipli), due casi possono darsi: o tutte 

 le C per A toccano ivi J, oppure non c'è altra C per A che 

 tocchi ivi .7. Nel primo caso A sarà evidentemente punto base 

 d'osculazione di un fascio di curve C; nel secondo caso la serie 

 caratteristica sulla C, che è di genere p — 1, avrà tino de' suoi 

 2n -\- 2{p — 1) — 2 punti doppi, coincidenti con A, e poiché una 

 generica C per A non ha un contatto (proprio) con C, che al- 



