IL GENERE ARITMETICO ED IL GENERE LINEARE, ECC. 633 



trimenti si cadrebbe nel caso precedente, due dei punti d'inter- 

 sezione con C di una tendente a passare per J, tendono ad A 

 sopra C in un ramo di 2° ordine: ossia A è una cuspide ordi- 

 naria per C. — Ma dunque il w° dei punti per ciascun dei quali 

 accade che la C avente in esso punto doppio abbia un ramo tan- 

 gente ad J, è ^recisamente uguale a x -j- t. 



5. — Or consideriamo su F, oltre alla rete | C\ , un'altra 

 rete \C'\ analoga a |Cj, ma indipendente da questa, e dicia- 

 mone n' il grado, p' il genere, e ir' il genere della jacobiana J'. 



Per ogni punto A di J escono due curve C, e siano C\C\, 

 che toccano ciascuna un ramo dellia C con punto doppio in A, 

 e una C\ e sia C\, che tocca pure in A la J. Variando A ^m J 

 si ottengono ooi coppie C\C\ e 00^ coppie C'qC\. Calcoleremo 

 prima il n'' delle coincidenze C\G\, eppoi il n^ delle coinci- 

 denze C'oC'i. 



Per calcolare quante sono le coincidenze C\C\ possiamo 

 applicare entro alla rete \C\, della quale si riguardino le C 

 come elementi, il principio di Chasles sotto la forma usata al 

 n° 1. — Il n" delle coppie C\C'^ la cui C'i, la cui C\, ap- 

 partiene a un dato fascio, uguaglia il n^ a delle curve C di un 

 fascio ognuna delle quali tocca uno dei due rami uscenti dal 

 punto doppio di una qualche (7; e il n° delle coppie G'^C'^ che 

 stanno in un medesimo fascio con una data C", è uguale al doppio 

 del n'' delle intersezioni di J con questa C", atteso che, a causa 

 della simmetria della corrispondenza considerata fra le C, per 

 ogni punto di ./ si hanno due coppie C'iC'2. Ma dunque sono 



2a — 2(0', ./) 



le coincidenze. — È certo che quando col variare di ,4 su J la C 

 avente punto doppio in A tende ad una C cuspidata, le due 

 curve C\C\ tendono a coincidere; ma non possiamo escludere 

 che una coincidenza (y xC\ avvenga anche corrispondentemente 

 ad un punto A di / che sia nodo per una C. Allora la C\ in 

 cui avverrebbe la coincidenza dovrebbe avere punto doppio in J., 

 e quindi A sarebbe uno degli (./, ./') punti comuni alle jacobiane 

 di \C\ e \C'\. Effettivamente nella C" avente punto doppio in 

 un punto B comune ?i J q J' avviene una coincidenza, che anzi 

 nel n° complessivo dovrà contarsi due volte, perchè la C sod- 



