IL GENERE ARITMETICO ED IL GENERE LINEARE, ECC. 639 



Il genere P»* di F* in virtù della (6), soddisfa all'uguaglianza: 



Q*4-I* = 12P„* + 9, 



e dunque, sarà; 



Se ora su F consideriamo una rete irriducibile | C\ di ge- 

 nere p, dotata di 1 punto base ordinario U, e di x curve cuspi- 

 date (*), ma priva di linee fondamentali, con una trasformazione 

 che abbia su F 1 punto fondamentale in U, ma non linee fonda- 

 mentali, si passa alla superficie F* di ugual genere aritmetico P^, 

 e alla rete \C*\ irriducibile, sprovvista di punti base e di curve 

 fondamentali, il cui genere è ^ e di cui il n*> delle curve 



cuspidate è x- Ma dunque su P* avremo P„=: — x — P, e ciò 



prova che anche su F , in relazione alla rete \C\, si ha 



Considerando una trasformazione di F nella P*, e suppo- 

 nendo che su F si abbiano 2 soli punti fondamentali U, ì^, ma 

 non linee fondamentali, una rete , C\ di genere p e con x curve 

 cuspidate, avente un sol punto base in U, ma senza curve fon- 

 damentali, dà su P* una rete | C* | irriducibile senza punti base, 

 e con una curva fondamentale, che è la omologa v* del punto V. 

 In virtìi di quanto prima si è stabilito il genere aritmetico di P* 

 si potrà ciò nonostante calcolare col sussidio di 1 C* j , e verrà 

 precisamente 



Pa* = ~x—p; 



ma d'altronde il genere aritmetico Pa di P calcolato col sus- 

 sidio di i C [ , il che è ormai lecito, è espresso da ^ X — Pi onde: 



P* = P 



Cosi proseguendo si arriverà a provare che il P^, è inva- 

 riante per quelle trasformazioni che hanno su F un n° qualsiasi 



(*) Fuori del punto base. D'ora in poi sottintenderemo la restrizione 

 analoga per reti dotate di punti base ordinari. 



