640 FRANCESCO SEVERI 



di punti fondamentali, ma non linee fondamentali, e contempo- 

 raneamente si proverà che: 



Data SII F, di genere aritmetico ?„ , una rete irriducibile do- 

 tata di punti base ordinari, ma non di linee fondamentali, se ^ è 

 il suo genere e x il n'^ delle sue curve cuspidate, si ha 



Adesso si dimostra agevolmente l'invarianza assoluta del P^. 

 Difatti considerando una rete | C\ di i^, priva di linee fonda- 

 mentali, ed avente punti base ordinari nei punti che son fon- 

 damentali per una certa trasformazione birazionale della F, per 

 effetto di questa trasformazione essa rete dà luogo ad una rete 

 irriducibile priva di curve fondamentali, dotata di punti base 

 ordinari nei punti fondamentali esistenti sulla superficie trasfor- 

 mata, ma il cui genere e il cui numero di curve cuspidate ugua- 

 gliano gli analoghi caratteri di \C\. Ciò basta per concludere 

 che le due superficie di cui si parla hanno lo stesso genere 

 aritmetico. Dunque: 



Il genere aritmetico Po è invariante per tutte le trasformazioni 

 birazionali di F. 



7. — Dalla relazione (6) segue che Q è un invariante rela- 

 tivo che varia in senso contrario ad I, cioè se F trasformasi 

 nella i^* e su F si hanno Z* punti fondamentali ed l linee fon- 

 damentali, otteniamo : 



Q + ^ = Q* + ^*. 



Ciò posto se su F si ha una rete \C\ irriducibile, dotata 

 di cr punti base ordinari, ma sprovvista di curve fondamentali, 

 trasformando F nella F* con una trasformazione che abbia 

 BM F (5 punti fondamentali nei punti base di | C\ , ma non linee 

 fondamentali, la rete | C\ darà una rete | C*], la quale ci offrirà 

 il mezzo di trovare l'espressione di Q.*: 



Q* =;!: Tt — 9^ -I- 9 , 

 e poiché Q = Q* -f- cr , potremo dire che : 



