IL GENERE ARITMETICO ED IL GENERE LINEARE, ECC. 641 



Data su F mui rete irriducibile di genere p, con punti base 

 ordinari, ma senza curve fondamentali, se Tt è il genere della sua 

 jacobiana 



Q.^Tr_9p4-a+9 (*), 



ove Q è il carattere di F già definito col sussidio di reti senza 

 punti base. 



8. — Se la superfìcie F possiede un n° finito e di curve 

 eccezionali, il n° e è evidentemente un invariante relativo, che 

 varia in senso opposto ad Q. Sicché Q-\-e è un invariante asso- 

 luto. Lo chiameremo il genere lineare P'^* di F. 



9. — La definizione da noi data di genere aritmetico di 

 una superficie concorda con le note definizioni. Basta per mo- 

 strare ciò calcolare il P» col sussidio di una rete di sezioni 

 piane: allora si ricade nella espressione già incontrata da Zeuthen 

 e NòTHER (**). La (6) ci dice che l'invariante Q da noi incon- 

 trato non è che l'invariante già considerato da Castelnuovo- 

 Enriques al n° 5 della loro importante Memoria: Sopra alcune 

 questioni fondamentali nella teoria delle superficie algebriche (" An- 

 nali di Matematica „, (3), t. VI, 1901) (***). Del resto, come ho 

 già accennato, si può verificare direttamente che Q non diffe- 

 risce dall'invariante considerato da Caselnuovo-Enriques , pro- 



(*) Introducendo il genere virtuale p della rete, e il genere virtuale u 

 della sua jacobiana, in armonia con la convenzione di riguardare come 

 inesistenti i punti base della rete, si trova, mercè la formola del testo 

 Q = ir — 9p 4" 9. Il fatto che l'espressione tt — 9/5 + 9 è un carattere di F 

 si sarebbe potuto piìi rapidamente provare usando dei metodi di Castel- 

 nuovo-Enriques. Se non l'ho fatto, è stato per esporre la cosa nel modo più 

 elementare possibile. 



(*') La definizione del Pa con una rete qualunque di curve, anziché con 

 una rete di sezioni piane, si sarebbe potuta dedurre dalla definizione dei 

 citati Autori, presupponendo dimostrata la invarianza del Pa. La definizione 

 ex novo con una rete qualsiasi, ha il vantaggio di contenere in se questa 

 proprietà d'invarianza, ed è perciò che abbiamo voluto stabilirla in modo 

 autonomo. 



(***) I citati Autori indicano con uj il suddetto invariante. Per evitar 

 confusioni, in questa Nota ho fatto uso di lettere maiuscole pei caratteri 

 della superficie. 



