642 FRANCESCO SEVERI 



fìttando delle proposizioni stabilite dal prof. Enriques nei Fon- 

 damenti citati, le quali pongono una relazione fra la jacobiana 

 di una rete e il sistema aggiunto alle curve della rete stessa. 

 — Ne segue che l'invariante assoluto P''^ ottenuto al n° pre- 

 cedente, è proprio quello che già si considerava sotto il nome 

 di genere lineare, per le superficie con un n** finito di curve 

 eccezionali. 



10. — Ed ora, per terminare, due parole di applicazione 

 ai problemi numerativi sulle reti di curve tracciate sopra una 

 superficie. 



Sulla F di caratteri /, P^, abbiasi la rete \C\ irriducibile 

 priva di curve fondamentali e dotata di cr punti base ordinari. 

 Ne sia n il grado, p il genere, x il n° delle curve cuspidate, t il 

 n° dei fasci di curve che si osculano, |u il n° delle curve dotate 

 di due punti doppi, v il n** dei fasci di curve che hanno fra loro 

 doppio contatto. 



Rappresentando le \C\ con le rette di un piano F*, la F 

 verrà rappresentata sul piano w-plo F*, privo di punti fonda- 

 mentali, e la cui curva di diramazione -/* di genere tt, sarà la 

 trasformata della jacobiana J di j Cj . Ragionando come al n° 3 

 si giunge a stabilire che i flessi di J* rispondono alle cuspidi 

 di curve C, e le cuspidi di ./* ai punti base d'osculazione dei 

 fasci di C che si osculano ; e inoltre che a ciascuno dei punti 

 doppi di ./* rispondono su J i due punti di contatto dei fasci 

 di C con doppio contatto, e a ciascuna delle coppie di punti di 

 contatto delle tangenti doppie di J* due punti che son doppi per 

 una medesima curva C (*). Applicando allora alla /* le formolo 

 di Pliicker, e tenendo presenti i precedenti risultati, si esprime- 

 ranno X, V, fi, T in funzione di w, ^:>, CT, P^ , /, e si potrà enunciare: 



Data sopra una superficie di caratteri P„, I una rete irridu- 

 cibile di grado n, genere p, priva di curve fondamentali, e dotata 

 di (5 punti base ordinari, vi sono in essa rete 



24(p + P„) 



(*) Se però | C ] ha punti base semplici, ad ognuno di questi risponde 

 una tangente doppia di J*. Ai punti base semplici in questioni di questa 

 natura bisogna badare in un modo speciale. Ved. Caporali, Sopra i sistemi 

 lineari triplamente infiniti di curve algebriche piane (" Collect. math., in 

 mem. Chelini „, 1881). 



