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Sulle funzioni armoniche 

 che ammettono un gruppo discontinuo. 



Nota del Dott. GUIDO FUBINI. 



Immaginiamo un gruppo discontinuo di movimenti di uno 

 spazio a due o a tre dimensioni (mi limito a questi casi non 

 perchè non creda il processo generalizzabile agli altri, ma perchè 

 questi sono i casi più interessanti) a curvatura costante, posi- 

 tiva, negativa o nulla, e che abbia un poligono o un poliedro 

 generatore. E noi ci chiediamo se esisterà una funzione armo- 

 nica che il gruppo trasformi in se. Io darò in questa nota un 

 procedimento che, almeno quando il poligono o il poliedro non 

 ha elementi a distanza infinita, dimostra l'esistenza di tali fun- 

 zioni armoniche " u „ con singolarità prefisse a piacere. Natu- 

 ralmente, quando noi diremo funzione armonica, intenderemo 

 che la funzione sia armonica nella metrica ambiente, perchè 

 naturalmente è necessario che anche l'equazione 



sia invariante per il gruppo citato di movimenti. Il nostro pro- 

 cedimento vale senz'altro per la sfera e per lo spazio ellittico 

 (che non ha punti a distanza infinita), cioè serve a dimostrare 

 l'esistenza di funzioni armoniche sulla sfera invarianti per i 

 gruppi dei poliedri regolari (cosa ben nota) e di funzioni armo- 

 niche in uno spazio ellittico invarianti per i gruppi discontinui 

 di movimenti di tali spazii scoperti da Goursat (*) e poi ritro- 

 vati da Bagnerà (**). Ricordiamo ora che una funzione armonica 

 nel piano di curvatura costante negativa o positiva è anche ar- 

 monica nel piano Euclideo ; il nostro procedimento ci dimostrerà 



(*) Sur les substitutions orthogonales etc, " Annales de l'École normale 

 supérieure ,, 3« sèrie, t. VI, 1889 (pp. 9-102). 



(**) " Rendiconti del Circolo di Palermo „ (1901), pag. 161 e seg. 



