SULLE FUNZIONI ARMONICHE, ECC. 645 



perciò l'esistenza di funzioni armoniche (nel senso abituale della 

 parola) u{xi/) trasformate in sé da un gruppo impropriamente 

 discontinuo di sostituzioni lineari fratte sulla variabile com- 

 plessa z =x -\- it/, nel caso che esso ammetta un poligono ge- 

 neratore, di cui nessun vertice cada sul cerchio fondamentale, 



e quindi anche di funzioni (automorfe) r- — ir- della variabile 



complessa " z „ trasformate in se dal gruppo con una dimostra- 

 zione forse più semplice di quella di Poincaré e in un certo senso 

 più generale, perchè insieme dimostrerà l'esistenza di tali funzioni 

 automorfe con singolarità prefisse a piacere {aree lacunari, ecc.). 



Noi tratteremo ora un esempio ; ma per maggiore chiarezza 

 noi dovremo dapprima riportare qui una facile modificazione 

 al processo alternato, che io ho già dato altrove (*). 



Immaginiamo di avere due campi Z, Z' finiti aventi una 

 porzione comune, p. es., due campi sferici intersecantisi, due 

 cerchi che si taglino, ecc. Sia a la porzione di contorno di I 

 interna a X' e sia 3 la porzione del contorno di X' interna a Z. 

 Immaginiamo che un pezzo P' del residuo contorno di Z sia in 

 corrispondenza biunivoca con P, p. es., che P' e B siano uguali 

 nella metrica dello spazio ambiente e che a' sia in una analoga 

 corrispondenza con a. Sia y la parte residua del contorno di Z 

 e sia b la parte residua del contorno di Z'. Noi ci proponiamo 

 la costruzione di una funzione armonica esistente in tutto il 

 campo Y -\-V assumente in t, b valori T, A assegnati " a priori „ 

 e tali che in punti corrispondenti di P, 3', come pure in punti 

 corrispondenti di a^ a' riprenda gli stessi valori. È ben chiaro 

 che una tale funzione, se esiste, è unica, perchè se ve ne fos- 

 sero due, la loro differenza sarebbe una funzione armonica in 

 Z -|- Z', nulla in Y, ^ e riprendente su a, a' e su p, P' gli stessi 

 valori. Se essa non fosse identicamente nulla, dovrebbe in un 

 punto di p' di a' assumere un massimo positivo o un minimo 

 negativo, che dovrebbe pure assumere nel punto corrispondente 

 di P di a evidentemente interno al campo; ciò che è assurdo. 

 Veniamo ora alla sua costruzione. Si costruisca in Z' una fun- 

 zione " Wo » armonica che su ò assuma i valori prefìssati A e 



(*) Sui principii fondamentali della teoria delle funzioni armoniche negli 

 spazi a curvatura costante, " Annali della R. Scuola normale superiore di 

 Pisa , (1902). 



