SULLE FUNZIONI ARMONICHE, ECC. 647 



Ricordando le (1), (2), (3), (4), (5), (6) otterremo che: 



(7) I r?2(«) — iJi(«' I < ^ I véP"> —v^(P'^\<A I v^^P)— Vy(P) I < \A 



(8) I M2(«')— Wi(«') 1 < ^ ; I M2'^>— ih^P) I =v^i^)—v^(P) I < \A 



\v,(^)—V2^^)\<\^A 



(8') I Up/«')-M2(«''l=l t;3(«J-t?2(«'|^5^^; I uéf^^-U2^f^H=\vs^^)-vé^^\<\^A; 



\u3,^(i)—U2^^^<\^A, ecc. ecc. 



Queste disuguaglianze provano senz'altro che le due serie : 



Ih + {ih — >h) -\- {us— U2) -\- 



Vi + {V2— ^i) 4- (^3— i'2) + 



sono assolutamente e uniformemente convergenti, ossia che 

 esistono : 



lim Un , lim v„ 



n=» 7i=w 



che indicheremo con m, v e che rappresentano funzioni armo- 

 niche in Z', Z. 



La (6) ci dice che: 



<^i~<^' 1= lif- vf= uf,— vif\=...= uf)— v(^)= 0. 



n-t-i ti-i-i n n n — I w — 1 1 1 



Quindi 



lim M,/A'= lim y„<^' , ossia ?t(^'==: i'</5>. 



n=oc n=oo 



La (3) ci dà: 



w-pi 1 n n—ì. i. 



E quindi: 



lim M„^*^'= lim iV"^ , ossia m<")= t;'"^. 



n=» 



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