SUI-LE FUNZIONI ARMONICHE, ECC. 649 



Indicheremo con a, p quei pezzi dei contorni di X", Z'" 

 interni rispettivamente a Z'", Z" e siano a', P' due pezzi rispet- 

 tivamente di Z'", Z" in corrispondenza biunivoca con a, p, p. es., 

 uguali nella metrica dello spazio ambiente. Indicheremo ora 

 con cf, T quelle porzioni del contorno di I."-\-'L"' e di Z -f- Z' 

 interne rispettivamente a Z -f- Z' e a Z"-|-Z'" (e che possono 

 anche constare ciascuna di due parti distinte) ; e siano a' e t' 

 due pezzi del residuo contorno di Z -[- Z' e Z"-|-Z"' in corri- 

 spondenza biunivoca con a, t, p. es., a loro uguali nella nostra 

 metrica. Immaginiamo che i tratti a, p, a', 3' ci, p, a', p', a, e', t, t' 

 non abbiano alcuna porzione comune. Sia t la porzione residua 

 del contorno di Z -|- Z' e b la porzione residua del contorno 

 di Z"-f-Z"'. Dico che esiste ed è unica una funzione armonica 

 in tutto il campo Z-|-Z'-|-Z"+Z"' che in punti corrispondenti 

 di a, a', P, B', a, a', p, 3', a, a', t, t' riprende gli stessi valori, 

 mentre su t e su ò prende dei valori f, A prefissati " a priori „. 

 Che questa funzione, se esiste, sia unica, si dimostra con un 

 procedimento già usato precedentemente; per costruirla si ri- 

 corre di nuovo, come sopra, al procedimento alternato oppor- 

 tunamente modificato. Si prende cioè in Z-|-Z' una funzione «o 

 armonica qualunque che su r ha i valori f, mentre in punti 

 corrispondenti di a, a' o di P, 3' prende valori uguali: quindi 

 in Z"-j-Z"' si costruisce una funzione t'i che su a e t' prende 

 rispettivamente i valori che Uq ha in cr, t, mentre su ò assume 

 i valori A ed assume valori uguali in punti corrispondenti di 

 «, a', p, p'. Cosicché si ha: 



u 



^((^)=u^io) ^;J(r')=^^^^(r) t,^(ó)=A. 



Quindi in Z -|- Z' si costruisce una funzione Ui tale che al 

 contorno soddisfi alle solite condizioni, mentre: 



Quindi in Z" -[- Z'" una funzione 1*2 soddisfacente alle solite 

 condizioni al contorno in guisa che: 



V2"')=w/'J) v^(T'ì=u^(rì iV*^)=A, ecc. ecc. 



