650 GUIDO FUBINI 



Procederemo ora in modo analogo al precedente. Sia A una 

 quantità maggiore o uguale al massimo modulo di «i'*^' — «o^**^ 

 e di Mi'^* — Uq^^I e sia \ la più grande delle costanti di posi- 

 zione (*) relative a (5 in Z -j- Z' ed a t in Z"-)-Z'". Di più 

 notiamo che v„^i — t\ è nulla su (ò), mentre nei pezzi a', 3' del 

 contorno del campo Z"-l-Z"', dove essa è definita, riprende i 

 valori che assume sulle linee a, p interne al campo stesso ; essa 

 prenderà perciò il suo massimo valore assoluto su a e su t'. Quindi 

 anche qui continueranno a sussistere le (7), (8), (7'), (8'), .. . (**); 

 e si può senz'altro completare la dimostrazione con le stesse 

 precedenti considerazioni. 



Io ho svolto il metodo precedente, che si riduce in sostanza 

 al processo alternato, in due casi particolari ; è ben chiaro però 

 che esso è generale e ci serve a costruire funzioni armoniche 

 in un campo tali che su certi pezzi del contorno esse prendano 

 certi dati valori, mentre negli altri esse riprendono lo stesso 

 valore, che hanno in tratti interni opportunamente disposti. E 

 il metodo si estende anche agli spazi curvi, perchè, come io ho 

 dimostrato nella Memoria citata, i teoremi necessari alla vali- 

 dità del metodo valgono anche in questi spazii. 



Ora tratterò un esempio particolare, dimostrando l'esistenza 

 delle funzioni armoniche (di Appell), che sono trasformate in se 

 dal gruppo di movimenti Euclidei (traslazioni) definito dalle: 



x' = X ^ ma, y' = if -\- nn, z' = z ~\- pa 



dove m, n, p sono interi variabili, a e un costante reale, le x, 

 y, z sono coordinate cartesiane ortogonali. Prendiamo il cubo di 

 lato a che gli può servire come poliedro fondamentale. E siano 

 A, B, C, D ì vertici di una faccia. A' ^ B', C, D' quelli della faccia 



opposta. Costruiamo delle sfere di raggio un po' più grande di -^ 



coi centri in questi vertici. Sui contorni di queste sfere prefis- 

 siamo delle catene di valori tali che in punti corrispondenti per 

 il nostro gruppo esse siano identiche, cosicché appena data la 

 catena di valori al contorno di una di queste sfere, è data in- 

 sieme la catena di valori al contorno delle altre sette sfere. 



(*) Definite in modo analogo al precedente (Cfr. Mem. cit.). 



{**) Dove naturalmente qui a, t fanno l'ufficio che a, 3 facevano allora. 



