SULLE FUNZIONI ARMONICHE, ECC. 651 



Per brevità indicheremo tutte queste sfere col nome del 

 loro centro. Le sfere successive C, B evidentemente si tagliano 

 e sia a la parte del contorno di C interna a /?, 3 la parte del 

 contorno di B interna a C e siano a', p' i pezzi corrispondenti 

 rispettivamente ad a e 3 del contorno di B, C. Applicando il 

 procedimento precedente noi potremo costruire una funzione ar- 

 monica in tutto il campo B -\~ C che in a' abbia i valoxù che 

 assume in a e in 3' i valori che assume in P, mentre nella 

 poi'zione residua del contorno dì B -]- C assume i valori prima 

 fissati. Analogamente si proceda nei campi A -\- D, B' -\- C", 

 A' -\- D'. Applichiamo ora il procedimento alternato alle fun- 

 zioni così costruite nei campi A -\- D, J5 -}- C in guisa da otte- 

 nere una funzione armonica esistente in tutto il campo A-\- B -\~ 

 -^ C -\- D tale che in un punto E' del contorno di questo campo 

 corrispondente, per il nostro gruppo, a un punto E del contorno 

 di una delle sfere A, B, C, D interno al campo A -{- B -\- C -{- D 

 riprenda lo stesso valore, che assume in E. Questa funzione 

 armonica allora prenderà lo stesso valore in punti corrispon- 

 denti del campo in cui esiste, perchè funzioni armoniche in due 

 sfere uguali, che assumano la stessa catena di valori al con- 

 torno, coincidono all'interno. Analogamente si proceda per il 

 campo A' -\- B' -^ C -\- D' . Si applichi quindi il procedimento 

 alternato alle funzioni così costruite nei campi A -{- B -\- C -^ I), 

 A' -{- B' -\- C 4- D'. Otterremo una funzione armonica esistente 

 in tutto il campo 



A^B + C-\- D + A' + B' + C' ^D' 



che in punti corrispondenti del campo prende gli stessi valori: e, 

 come si vede dal nostro procedimento, restano ancora arbitrarli 

 i valori di detta funzione su quella parte del contorno di 



A+B-i-Ci-D^A'-^B'-l-C'+D' 



che è interna al cubo fondamentale. La faccia AB CD non è 

 tutta coperta da queste sfere, perchè vi resta scoperto un qua- 

 drilatero a lati circolari. Costruiamo una sfera che abbia il centro 

 nel centro di questa faccia, e la cui sezione col piano AB CD 

 sia interna al quadrato ABCD, ma contenga nel suo interno il 



