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quadrilatero suddetto; e costruiamo una sfera uguale (che evi- 

 dentemente riuscirà tutta esterna alla precedente) col centro 

 nel centro della faccia A' -\- B' -\- C -\- D' (*). Chiamiamo L il 

 campo formato da queste due sfere (che perciò risulta di due 

 pezzi distinti) e consideriamo le funzioni V tali che siano armo- 

 niche nel campo L e che in due punti corrispondenti del campo L 

 riprendono lo stesso valore. Una di queste funzioni V è deter- 

 minata dai valori che assume al contorno di una delle sfere. 

 Chiaramente potremo applicare alle funzioni V e alle TI prece- 

 dentemente definite nel campo A -\- B ■\- ... -\- C -^^ D' \\ proce- 

 dimento alternato; perchè la differenza di due funzioni V che 

 si ottengono successivamente con questo processo è tale che in 

 un punto del contorno del suo campo (non interno al campo L) 

 in cui essa non si annulla, riprende lo stesso valore che ha in 

 un punto interno al campo. Otterremo così una funzione in tutto 

 il campo 



.4 + £ + C4- D + ^' + 5' + C" + D' + L 



soddisfacente alle solite condizioni ; e di nuovo si osservi che 

 essa può assumere valori arbitrarii in quella parte del contorno 

 di questo campo che è interna a P. 



Analogamente si operi per le altre coppie di faccie opposte. 

 Otterremo così un campo, contenente all'interno tutto il con- 

 torno di P, in cui sappiamo costruire funzioni armoniche W che 

 riprendono lo stesso valore in punti corrispondenti, e di cui si 

 possono prefissare a piacere i valori su quella parte del contorno 

 che è interna a P, e che noi chiameremo )li. Ora immaginiamo 

 entro a P un campo M, per cui si sappia risolvere il problema 

 di Dirichlet e che racchiuda entro di sé il contorno \x. Consi- 

 deriamo le funzioni armoniche Z esistenti nel campo M, ma con 

 una singolarità prefissata, p. es., quella di avere un'area lacu- 

 nare. Ricordo che questa singolarità ha l'unico scopo di assicu- 

 rare che la funzione che otterremo non è costante. Alle funzioni W 

 e alle Z applichiamo il processo alternato : che è dimostrato lecito 

 dalla solita considerazione. La funzione, cui arriveremo, esisterà 



(*) Ciò corrisponde a considerare come due vertici ausiliari i centri 

 delle faccie ABCD, A'B'C'D'. 



