SULLE FUNZIONI ARMONICHE, ECC. 653 



in tutto il poliedro fondamentale, sarà prolungabile al di fuori 

 del poliedro in guisa che nei punti dei poliedri consecutivi a P 

 e abbastanza vicini al contorno di P riprenderà lo stesso valore 

 che nei punti corrispondenti di P. Ma poiché tutti i poliedri sono 

 uguali e i valori di una funzione armonica sono definiti da quelli 

 in un campo piccolo a piacere, la nostra funzione si può pro- 

 lungare in tutto lo spazio, e prenderà valori uguali in punti 

 corrispondenti. Di piìi essa avrà in ciascun poliedro fondamentale 

 singolarità prefisse a piacere. 



Il procedimento, che io ho cercato di esprimere nel modo 

 più chiaro in questo caso particolare, è evidentemente generale. 

 Esso consiste nel costruire dapprima un campo, anche a più 

 pezzi, in cui si sappia risolvere il problema di trovare una fun- 

 zione armonica, che in punti corrispondenti per il nostro gruppo 

 riprenda gli stessi valori. Poi con successive applicazioni del 

 processo alternato si cerca, ampliando questo campo, di otte- 

 nere funzioni armoniche soddisfacenti alla premessa condizione, 

 e si prosegue fino a che il campo ultimo, a cui si perviene, con- 

 tiene nel suo interno il poliedro o il poligono fondamentale. Ciò 

 che è possibile, perchè il processo alternato da me modificato è 

 applicabile, come notammo, generalmente. E si sceglie; p.es., come 

 primo campo da studiare un insieme di sfere (*) (nel senso de- 

 finito dalla metrica ambiente) coi centri nei vertici del poliedro 

 fondamentale in modo che vertici corrispondenti siano centri di 

 sfere uguali. Io ho già risoluto esplicitamente per queste sfere 

 il problema di Dirichlet (**). Una di queste sfere sarà ricondotta 

 in se da quei movimenti G del gruppo (se pure ne esistono, oltre 

 l'identità) (***) che lasciano fisso il suo centro, e che formeranno 

 un sottogruppo g del gruppo dato. Le trasformazioni di g ope- 

 rando in modo propriamente discontinuo al contorno a della 

 nostra sfera, noi potremo perciò immaginare questo contorno 

 diviso in parti congruenti (nella metrica ambiente) ciascuna delle 

 quali serva a (j come campo fondamentale. Se su a prendiamo 



(*) Nel caso tlel piano, sceglieremo invece dei cerchi: le seguenti con- 

 siderazioni restano ancora, in sostanza, valide, come il lettore può ricono- 

 scere senz'altro. 



(**) Sulle proprietà fondamentali, ecc., loc. cit. 



{***) Nell'esempio precedente non vi era che l'identità. 



