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determinante non nullo di ordine Q) dell^- matrice .4'^^; e poiché 

 questa contiene Q) righe, la sua caratteristica è appunto uguale 



Se poi è r<m, in A sono nulli tutti i minori di ordine p>r; 

 le corrispondenti matrici A^Q^ hanno tutti i loro elementi nulli 

 e quindi anche una caratteristica nulla, o se si vuole anche 

 uguale ad (H che è nullo poiché r<p. 



Vi è inoltre in A un determinante di ordine r diverso da 

 zero: si può supporre sia quello delle prime r righe e colonne; 



(2) Ar ='L± an(( 22"- <^rr' 



Tutti i determinanti di ordine r+ 1, ottenuti dalla A or- 

 lando Ar, sono invece uguali allo zero; ne segue che per tutti 

 i valori di i da 1 ad vi, dì ìc da f -{- 1 ad n si ha, indicando 

 con X^.v delle opportune costanti: 



(3) a,k=^\na..i-\-'K2hai2-\-...-\-Kkair {i—l,2...m; k=r-\-l, r-\-2...n). 



Sia ora un minore qualunque di ordine p<r della matrice A; 

 per le (3) esso è una combinazione lineare omogenea a coeffi- 

 cienti costanti dei minori di ordine p formati colle sue stesse 

 righe e colle prime r colonne di A\ ed, ancora per le (3), i coef- 

 ficienti di questa combinazione non cambiano, cambiando le righe 

 che formano il minore considerato. La matrice ^'^^ può dunque 

 pensarsi come derivata (*) da una matrice analoga A"^Q\ asso- 

 ciata di rango p della matrice A' formata con tutte le righe e 

 colle prime r colonne di A; la .4^^^ e la ^''^' hanno perciò la 

 stessa caratteristica. Ma poiché la matrice A' non è nulla, la A!'<Q'> 

 ha la caratteristica (H; tale è dunque anche quella della A^Q\ 

 il che dimostra la nostra asserzione. 



2. — Nella matrice A si consideri un minore M di ordine k, 

 ad es. quello delle prime k righe e colonne. Diremo che un mi- 

 nore di A di ordine p>A; contiene 31, quando delle sue righe e 

 colonne faccian parte le righe e le colonne di M. Diremo anche 



(*) Cfr. Capelli e Gabbieri, Corso di Analisi Algebrica. Padova, 1886, 

 pag. 275. 



