SULLE MATRICI ASSOCIATE AD UNA MATRICE DATA 657 



che la matrice A ha rispetto al minore M la caratteristica r', 

 quando tutti i minori di A di ordine p contenenti M sian nulli 

 per p>7-', non lo siano invece tutti quelli di ordine r'. Si ha 

 evidentemente r' < r. 



I minori di A di ordine p contenenti if possono distribuirsi 

 in una matrice A^^ di (^r^) righe ed ("~ j) colonne, ponendo an- 

 cora in una stessa riga (colonna) i minori corrispondenti alla stessa 

 combinazione della classe p — k degli indici k-\^l,...ni{k-\-l,...n). 

 Questa matrice A^ , che è evidentemente una parte della ma- 

 trice A^Q\ si dirà associata della A di rango p rispetto al minore M. 



Se la caratteristica di A rispetto al minore M è uguale ad r', 

 la caratteristica di A*^' è minore od uguale ad CoZl)- 



Questo teorema si dimostra in modo affatto analogo al pre- 

 cedente. 



Se r' = m (essendo sempre m<n), la matrice A^^ avendo 

 (o~t) ''^S^^' '^^^ P"ò avere una caratteristica maggiore di 



nn — k\ fr' — lc\ 



\Q-k) y.Q-k)- 



Se poi è r'<m, il teorema è evidente per p>r';perp<r' 

 si osservi che vi è in ^ un determinante di ordine r' conte- 

 nente M e diverso da zero: e si può ancora supporre sia il de- 

 terminante 



Ar' = I.±: «11 «22 ... ttr'r' 



delle prime r' righe e colonne. Ripetendo allora le considera- 

 zioni del n° 1 sotto una forma affatto simile, è chiaro che la 

 caratteristica della matrice A'^ è uguale a quella della matrice 

 analoga A'^^, associata rispetto ad M alla matrice A' formata 

 con tutte le righe e colle prime r' colonne di A. Ma poiché la A' 

 è diversa da zero, la A'^^^ ha una caratteristica minore od uguale 

 ad (o'i*); tale è dunque anche quella di A^^\ come si era af- 

 fermato. 



3. — a) Il teorema che precede dà soltanto un limite supe- 

 riore per la caratteristica della matrice vl(£? ; né il segno di di- 

 suguaglianza può togliersi in generale. Basta, per persuadersene, 

 l'esempio seguente: 



