SULLE MATRICI ASSOCIATE AD UNA MATRICE DATA 659 



di un'altra forma bilineare in due serie di ("') ed (") varia- 

 bili aJi,i,...y ykik....kp'' 



La A^6'> si dirà associata della A di rango p: essa è cova- 

 riante alla A, quando, operando sulle x (e sulle ij) una sostitu- 

 zione lineare, sulle Xì^.j^ {yk...k,) si eseguisca la sostituzione as- 

 sociata od indotta (*). Affatto analogamente si definisce la forma 



A(Q} = 1. Z a,,...,-,_,. t, ...t^_, Xi,...i^_^ ifk, ...K^^, 



M 



7.-,.../,:, 



associata della A di rango p rispetto al minore M. ^ 



Chiamando inoltre classe di una forma bilineare la caratte- 

 ristica della sua matrice, i teoremi dimostrati al n° 1 e 2 pos- 

 sono allora enunciarsi: 

 Se la forma bilineare 



m n 



A = Z,Zfca,fcX,yfc 



1 ! 



è di classe r (di classe r' rispetto ad un minore M di ordine k) 

 la sua associata di rango p A^^) (l'associata di rango p A'£^ ri- 

 spetto ad Ì/L) ha la classe (H (minore od uguale ad (^~l)). 



In particolare per p = r (p = r) si ha : 



Nelle stesse ipotesi la A^'^ (la A<^^) si decompone nel prodotto di 

 due forme lineari, l'una nelle ("?) variabili Xj,j,.. ,,. (nelle ("'Zt) x,,,,...,-^_^^, 

 l'altra nelle 0) Jk^...h, (nelle {r-ì)yk,...k^_J. 



Questa proprietà della A^'^ (od A']i^) è stata appunto quella 

 che mi ha condotto alle considerazioni precedenti : esse possono 

 evidentemente riguardarsi come un complemento al teorema di 

 Sylvester già ricordato. 



Pisa, li 12 giugno 1902. 



(*) Per sostituzione associata (di rango p) di una sost. lineare S inten- 

 diamo quella i cui coefficienti sono i minori di ordine p del modulo della S. 



