2S SEBASTIANO CATANIA 



Occorre tenere presente ('') che l'elemento nullo di u (unico, 

 per le I-VIII), lo zero, 0. è caratterizzato da + a? = x, qua- 

 lunque sia Vx di ^f, e se a: ed y sono u, la relazione x^ y si- 

 gnifica X =^ k -\- y, dove k è un u non nullo (*). 



■* continuità indipendentemente dal concetto di successione e, quindi, di iiu- 

 ' mero intero ,. — Io aggiungerò che il numero totale dei postulati dell'HuNo- 

 TiNGTON è superiore ad otto e anche a noi-e, numero delle condizioni (non 

 più postulati!), dalle quali non solo la teoria delle grandezze ma anche 

 quella dei numeri derivano totalmente. Si ha dunque un notevole progresso 

 scientifico (per non parlare di quello didattico) rispetto all'HuNcrriNGTON. 



Va da se che essendo il BueaijForti in f'') riuscito a far precedere la 

 definizione dei Qo (classe generale dei numeri) a quelle delle classi (par- 

 ziali) No, Ro, è venuta fuori una teoria nuova di Grandezze e Numeri, 

 accennata in (*), completamente sviluppata in ("). 



Ed ecco ora le prop. I-VIII delle quali si deve spesso far uso. 



Premesso che -|- (somma) è un'operazione per una classe ti, cioè che 

 — posto fra due u produce un determinato ^^ dice che " « è una classe 

 di grandezze omogenee rispetto all'operazione + per gli u ,. se per ti e 

 per + sono soddisfatte le seguenti I-VIIl condizioni : 



[I] X, !/, z^H . X -^ z = y -\- z ."^ . X =^ y. 



[II] ?r Nul («, ^). 



Esiste in a almeno un elemento nullo rispetto a -(- ,• Cioè un ele- 

 mento X tale che se // è un u, si abbia, qualunque sia y. x -\- y = y. 



:in] ^In-Nul(H, -4-). 



Esiste in u almeno un elemento non nullo rispetto a + «• 

 [IVJ j-€«- Nul(«, -f-) .//ew . a.a;-|-//eM~NuUi^-f). 



Non è nulla la somma d'un u non nullo con un u qualunque „. 



[V] X, y, zen . :) .{x A- y) + z ^ X -'- (y + z). 



[Vi] X, yen . . xfy -fu.'-', ye.r + "• 



Se r ed y sono u, o .r è la somma di // con un n, o y e la somma 

 di X con un M „. 

 [VII] a;€u-Nul(M, -1-).0 . [Jk-iO n yì{y<r). 



■* Se X è un n non nullo, esiste almeno un u non nullo minore di esso „. 



[Vili] ^•eClsLim((^+).^ .Sun .ri [0 («, -|-)x = 9 (», +) r]. 



" Se i? è una classe di u limitata superiormente (rispetto a -f-), esiste 

 un M, X, tale che ogni u minore di a: è minore di qualche f. e ogni u 

 minore di qualche v è minore di x (rispetto a +, sempre sottinteso). 



(*) Nella (") invece la. x'> y equivale a x =y -\- k, h essendo un u non 

 nullo. In tal caso però poche proprietà dell'operazione -f- si possono otte- 

 nere senza fare uso di Comm -f-, come è indicato in (^), pag. 490, 2' nota 

 a pie' di pagina. 



