SULLE CONDIZIONI CHE CARATTEIilZZANO UNA CLASSE, ECC. 29 



Come risalta dalla ("), le condizioni I-VIII sono assoluta- 

 mente indipendenti. 



Però, come mi è accaduto di constatare (') sviluppando le 

 propriet.^ fondamentali degli u e dei Qo, le dette condizioni non 

 sono sufficienti a fondare una teoria generale delle grandezze e 

 dei numeri: al gruppo I-Vlll occorre unire o la proposizione 



[a] ar, ycM^iO .?/<.c.o .a' + y>a;, 



oppure la Comm -f . Ciò dimostro subito, ed inoltre provo che 

 il gruppo formato con le [I-VIII] e la |aj, ovvero la Comm -f, 

 è costituito da proposizioni assolutamente indipendenti. 



In questa Nota è dimostrato che con il gruppo di condizioni 



[A] = [I-VIIIJ [a] 



si ottengono tutte le ordinarie proprietà delle grandezze e dei 

 numeri. 



In {^) è dimostrato che le stesse proprietà si ottengono pure 

 dal gruppo 



[B] = [I-VIII] [Comm +]. 



Da questa Nota risulta che da [A] si deduce il principio 

 di Archimede, il quale si deduce pure {^) da [B]. 



Indicando con [Ar] il principio di Archimede, si ha dunque 

 che : 



[I-VIII] [a] D [Ar] , [I-VIII] [Comm -f ] Q [Ar]. 

 Ovvero, esportando: 



(1) [I-VIII].o.[a]o[Ar], 



{-^) [I-VIII] . . [Comm f] o [Ar]. 



Si ammettano ora il gruppo [I-Vlll] ed [Ar]. 



Si dimostra (*) {^) che se a è un Qo, si ha 0-|-a = a. 

 Allora, se w è un Nq, si ha -\- m = m. Definiti gli No come 

 in (*), si dimostra la Comm -(- per gli No come al n. 8 di 

 questa Nota. Come in ("). n. 20. sostituendo 1 -\- m invece 

 di m-\-\, si dimostra l'esistenza del massimo di una classe 



