30 SEBASTIANO CATANIA 



di No sotto determinate condizioni. Tutti questi risultati sono 

 ottenuti con il solo gruppo I-VIIl. 



In C^), n. 20, si dimostra che se v è una classe limitata 

 di No, allora max « è un Nq. Per tale dimostrazione si fa uso 

 di [Ar] che afferma che le condizioni del massimo sono soddi- 

 sfatte. Segue che con le I-VIII e la [Ar] si deduce che una 

 classe limitata di Nq ammette il massimo. 



Ciò posto, siano x ed y degli u non nulli. Per [Ar] ope- 

 rando su 1/ con tutti gli No si ottengono degli u maggiori od 

 eguali ad x. Cos'i la classe degli No, z, tali che zij'^x, è li- 

 mitata e quindi ammette il massimo. Tanto significa che esiste 

 un No, m, tale che 



my '^x<^{\ -}- m) y. 



Da my < a; si deduce [("), nn. 2, 8] my -\- y^x -{- y. 

 anche, essendo y=lp [{"), H], e my -]- y = my -{- ly = 



= (m + 1) «/ [{'), 12] = (1 4- m) y [Questa Nota]: 



X -]- y^{l -[- m) y, (1 -f m) y > x, 



e quindi x -\- y'^ x, cioè la [a]. 



Questo risultato, come si è fatto osservare, risulta esclu- 

 sivamente da [1-VIIl] e da [Ar]. 



Da questa Nota risulta che dal sistema [I-VIIl] [a] si de- 

 duce [Ar] e [Comm -f-]. Cosi abbiamo dimostrato che 



[I-VIII] [Ar] [a] , [I-VIII] [Ar] o [Comm +]• 



Esportando si ha: 



(3) [I-VIIl]. o.[Ar]o [a], 



(4) [l-VIII] . . [Ar] [Comm +]. 



Da (1), (2), (3), (4) si deduce che. rispetto al sistema I-VIII, 

 si ha : 



[I-VIII] . . [a] = [Ar] = [Comm + I, 



cioè è indifferente unire al gruppo I-VIII una qualunque di 

 queste tre ultime proposizioni per istituire una teoria di 

 " grandezze e numeri „. 



