SULl-R CONDIZIONI CHE CARATTERIZZANO UNA CLASSE, ECC. 31 



Considerando la classe degli mfinitesimi dei diversi ordini (*) 

 per gli u si riconosce che per essi sussistono le I-VIII, ma non 

 è verificata la [Ar]. Dunque [Ar], e perciò anche |a] e [Comni 4 | 

 sono indipendenti dalle I-VIII. In altri termini, i gruppi |A| 

 e [B] sono formati da proposizioni assolutamente indipendenti, 

 e quindi è necessario al sistema 1-VllI aggiungere o la [a], o 

 la [Comm -\-]. 



Da C) e da questa Nota risulta che la trattazione d'una 

 teoria di " grandezze e numeri .. riesce piìi semplice con il 

 gruppo [B] anziché con il gruppo [A]; ed è quindi naturale che 

 in ('■), pubblicazione di carattere didattico, io abbia dato la pre- 

 ferenza al gruppo [B], tanto piìi che la Comm -f- è cosi gene- 

 ralmente nota che non sarebbe stato giustificato l'escluderla. 



1. — La [a] vale anche per y = x e per y >■ x. Cioè, in 

 simboli: 



[1] x,ii^ur^\0 .y^x .^ .x-\- y^x. 



a) Se X -^ y si deduce ^' -^ y = y -\- y^ y , e quindi 

 x-\- y:>x. 



h) Se y'^x, siccome x -\~ y^ y, segue x -\- y^ x. 

 Da a) e b) si deduce il teorema. 



2. — Se X ed y sono u non nulli arbitrarii, si ha x -)- y > x. 

 In simboli: 



[2] x,yeur^\0 .Ox.!,.x-^y>x. 



Risulta subito dalla [a] e dalla [1]. 



3. — Se X, j sono u qualunque e z e \ sono u non nulli, 

 sarà (z -r k) + y >- z -|- y. In simboli : 



[31 x,yeu .z,k(:u<^ lO . . (2 -f- /•)+«/> ^ + y- 



Infatti, dalle ipotesi e dalla 12) si ha z ^k'^ z. Oper -\- y 

 si ha [z -\- k) -\- y^ z ^ y, cioè la tesi. 



(*) Cfr. ad es.: V. Mago, Teoria degli ordini, " Mem. R. Acc. Torino ,,1913. 



