32 SEBASTIANO CATANIA 



4. — Se X, y, z so)io u (judlioujKe, da x ^ y si deduce 



z -j- X >» z -|- >'• I" ^iiiiholi: 



( 4] .r, y, ^6v< . .X > // . . ^ "1- ^ > 2 + !/. 



Infatti, dalle ipotesi, se z = si ha -{- x = x, x'^ij, 

 y = -\- y e quindi + .r >- -[- i/. 



Se z non è nullo, siccome da a; > // si trae ic = A; -\-y, dove A- 

 è un u non nullo, segue dalla [3] che [z -\- k) -\- y ~^ z -^ y (1). 

 Dalla X =^ k -\- y aggiungendo z a sinistra si ha z -\- x ^= z -\- 

 -\-{k-\-y). Ovvero, Assoc-|-. z -\- x =^ {z -\- k)^ y. Da questa 

 e dalla (1) si ha z-\- x'^ z -\- y, cioè la tesi. 



5. — Segue pure, come per le eguaglianze, che sommando 

 membro a membro più diseguaglianze dello stesso senso si ha vna 

 diseguagliaìiza pure dello stesso senso. In simboli : 



[5] X, y, x', y'eu . a; >»'.?/>?/'. Q . j: -[-//> a;' + y'. 



Risulta dalla [4] e dall'altro teorema che dice che ('^) se 

 x'^y, si ha x -{- z^ y -{■ z. 



6. — Nella Nota (*) la classe Nq è definita nel seguente modo: 



No = i[Cls"Qo <"" v^ ]OeL-:l-\-v'jv:weC\s''L\Oew.l-\-w^w.';),n-U'='v[]. 



Cioè: si chiama " numero intero „, e si indica con No, quella 

 classe di numeri reali tale che : 

 1° contiene lo ; 



2*» contiene la somma di 1 con ogni Nq; 

 3*> se una classe ic di No contiene lo e contiene pure 

 la somma di 1 con ogni ?r, allora w coincide con No. 



Nel mio opuscolo ('^) invece, seguendo l'uso comune, si è 

 scritto V -\- 1 invece di l -{- v, No + 1 invece di 1 -|- Nq. 



Questo mutamento, che non porta conseguenze quando si 

 fa uso di Comm +, non può essere fatto quando di tale pro- 

 prietà si voglia fare a meno, e si voglia invece adottare la [a]. 

 Secondo la (*) gli No sono 



(a) , 1-^0. 1 -I- 1 f , 1 + 1 -I- 1 + , . . . 



