34 SEBASTIANO CATANIA 



9. — Il principio di Archimede si dimostra come segue. 

 Esso si enuncia: Se a e b sono u e a non è nullo, esiste un Nq 

 non nullo, x, tale che xa > b. In simboli : 



[10] a, ben . a ^ = . . gNo o xa (a?rt > ò). 



Infatti, ove si ammetta l'ipotesi e si neghi la tesi, No a 

 sarà una classe limitata di u, e quindi esiste (") C^) r(Noa), 

 che è un determinato u. Intanto r(Noa) è maggiore di a, e 

 quindi esiste un u non nullo, k, tale che Y {ìiÌQa) = k -\- a (l). 

 Essendo A ed a non nulli, da [2] si ha k -{- a > k, e quindi, 

 per la (1), r(Noa)>/^. Essendo k minore di r(Noa), sarà mi- 

 nore di qualche No«, ad es. ^< mot, dove m è un No non nullo. 

 Aggiungendo a a destra si ha /e + a < ma -\- a, o anche (*) C^), 

 k-\- a< ma + 1 a, o, ancora (*) {'), k + a < {m -\- 1) a. Per la (1) 

 si ha allora 

 (2) (m + l)a>l'(Noa). 



D'altra parte, essendo {m-\-l)a un Noa, esso è eguale 

 a r(Noff) è minore, ciò che contraddice alla (2). 



Non può darsi dunque che operando su a con tutti gli Nq 

 non si ottengano u superiori a b. 



10. — Come in ('^) si dimostra che 



[11] aeQo.O -aNo ^ w3(«^a< « -^ 1), 



e che le leggi Comm -\- e Comm X valgono per gli Rq e per 

 le classi di Ro- 



11. — Tra due numeri reali diseguali a e ^ cade sempre 

 qualche Rq- In simboli: 



[12] a, peQo . P < a . . [,[ Ro o Y9 (p < Y < a). 



Si supponga f> (e quindi a) non nullo. Da p < a risulta 

 a = /; -f~ P (1)^ dove k è un Qo non nullo. Essendo Qo una 

 Grand -\-, e k non nullo, da [10] si deduce che esiste un N© 

 non nullo, m, tale che mk>\. Da questa si deduce che esiste 



