SULLE CONDIZIONI CllK CARATTERIZZANO UNA CLASSE, ECC. 35 



un Qo non nullo, A, tale che )nk = h -\- i (2). Da (1), operando 



con ))ì si ha ma = tnk ^ m^. Sostituendo in (2) si ha ma = 



= (A -f- 1) -|- "'P ; anche, Assoc-f-, »ia = h -\- {i -^ m^), e 



quindi 



(3) ma>l -{- ni^. 



Dalla [11 1 si ha che esiste un Nq. «, tale che 



n^m^ < n -\- 1. 



Da m^'^n e da [4] risulta che ì -{■ in^^ l -\- n, che, 

 confrontata con la (3), dà nia>ì -\- n. 



Ma da [9] si deduce che l-\-n = n-\-ì, talché racco- 

 gliendo si ha ma > 71 -{- 1 e n -\- 1 > wp, cioè 



/«P < n -}- l < ma. 

 Moltiplicando per m~^, che non è nullo, si ha 



p< wi-i (w + l)<a. 

 Il teorema vale anche {') se P = 0. 



12. — Per i Qo sussiste la proprietà Comm -\-. In simboli: 



[13J a. peQo.0.a4-p = P + a- 



Intanto se a, b, e sono Ro e a < è + e, esistono due Rq, 

 b' e c\ tali che b'<b, c<c e a^=b'-\-c'. 



Infatti, posto {b-\-c)~^a = k (1), sarà C^) h un Rq. Inoltre 

 dall'ipotesi si ha {") (è -|- c)~i a < 1, e quindi ^<1. Da (1) si 

 ha a = bk-\-ck, che per essere 1c<\ dimostra il teorema. 



Allora come in (*), n, 24, si dimostra che se u e v sono 

 classi di Ro, si ha \x{u-{- v) = \xu -\- \xi\ e poi che V {u -^ v) = 

 = l'M-|-l'r. Come in C'), n. 2H, si dimostra che se a è un Qo, 

 si ha a = l'(|iia). 



Ciò posto si ha: 



a + p -^ 1' (Ma) -f- 1' (mP) -:. r (Ma + Mp) = 1' (mP + Ma) = 

 = l'(MP) + l'(na) = p + a. 



