SU[,r,E CONDIZIONI CHR CAIiATTF'JUZZANO UN'A CLASSE, ECO. 37 



a) Siil f =^ </. 



Se n è una classe, ed /" è \\n 0[ì1(. essendo f=^<J, sarà pure y 

 un Op u. Se, viceversa, essendo // una classe, f/ è un Op n, siccome 

 da f^=tl si trae g = f, sarà pure /' un Op ;/. Le due proposizioni 

 '■/'eOpM n e " geOpu „ sono perciò efpùvalenti. 



Oltre a ciò, se ii è una classe, /" un Op u ed x è un u, se consi- 

 deriamo la classe w ^= Opti r\ /i^ (f.r = hx) degli operatori h per gli w, 

 si ha che f appartiene a w, perchè essendo fx = fx, si ha che /' è un h 

 tale che fx = hx. Essendo f=g, sarà 7 un tv, cioè un // tale che 

 fx=^hx, sarà, cioè, fx = gx. 



b) Valga ciò che afferma il secondo membio della (4j. Cioè : 

 Se t(. e I) sono classi, si abbia, qualunque siano n e v. 



(1) /"eOpi/ . — - . //eOp?^: 



E se // è una classe, x un w, si abbia, qualanque siano it ed x: 



(2) fx = (ix. 



Sia a una classe ed /' un u. Dire che /' è un a equivale, in virtù 

 della definizione di Operatore, a dire che: " Esiste un elemento h di a 

 tale che esistono le classi /< e v tali che f ed // sono Op (w, v), e tale 

 ancora che qualunque sia l'elemento x di u, si ha fx = hx„. Cioè, in 

 simboli : 



{']) fid. = .\<^an h 9 [a {u, v) 9 ) u, t^e Cls . /", // e Op u : xeu . o„,^ . fx = hx[]. 



Per la (1) e per la (2) è lecito nel secondo membro della (3) mu- 

 tare f in g. Facendo allora tale mutamento nel primo membro si ha 

 che gea. 



Se dunque a è una classe ed /" è un a, sarà pure, qualunque sia a, 

 g un a, e quindi f=g. 



Dalla a) e dalla h) risulta la (4). 



