122 FRANCESCO CANTELLI 



In (letinitiva, se è noto che un.i foiMiioIa di quadratui-a: 



\''f(x)dx='y:AJ(Xi), k^n 



può dedursi. nel modo aopra detto, dall'ipotesi che f (x) sia una 

 funzione intera di gi'ado non superioi-e a ìi. il suo resto, nell'ipo- 

 tesi che f {x) sia una qualunque funzione alla quale sarà suffi- 

 ciente richiedere che, nell'intervallo ia h). sia dotata delle deri- 

 vate dell'ordine n finite e continue e delle derivate di ordine 

 n-\-\ generalmente finite e atte all'integrazione, è dato dal- 

 l'ultimo termine della (8) in cui la cp (//) è espressa dalla (7). 



3. — Se è nota una eguaglianza della forma generale f8). 

 tra i limiti a e 6, ad essa può ricondursi con la trasformazione 



/„s ci — r I cb — (Ili 



(y) Z ^ X -\- 



^ ' HO (l 



la ricerca della eguaglianza corrispondente tra i limiti e e d. 

 E chiaro a j)riori, e sarebbe facile dimostrare, che l'espressione 

 così dedotta dalla (8) coincide con quella che si otterrebbe in 

 modo diretto. 



Se la funzione qp iy) che, come si è visto, è finita e con- 

 tinua, si mantiene dello stesso segno, nell'intervallo in cui è con- 

 siderata, e la /"("""'U^) è sempre finita, nell'intervallo stesso, si 

 potrà pure scrivere, come è iioto : 



(10) \y (y)f"^'^ iy) dy = /"'■■ ^" iP) \\ [y) dy 



indicando con p un valore compreso tra ^/ e a; in tal caso si 

 otterrà dunque il resto anche sotto forma di derivata. 



È da osservare, ancora, che. in casi speciali, non si rende 

 necessaria la considerazione della funzione ^ iu). per il fatto che 

 i vari termini del resto della formola di quadratura possono 

 disporsi sotto la formola di un unico integrale definito senza 

 bisogno di alcun artificio : uno di questi casi è appunto quello 

 che i-iguarda la formola di Cavalieri-Simpson, trattato dal Peano. 



