126 FRANCESCO CANTELLI 



e poiché neir intervallo (0, 1), nel quale è considerata la (23j. 

 è costantemente t(0) = 0, y(1)=1. si può scrivere: 



(27) ^{y) = - \ y{^-y)\ 



e per il resto della (23): 



(28) R^- l\'^ya-,jfi.\"'i^'-",j+ ^*ì,y^. 



Ritornandu, adesso, alla variabile x, por mezzo delle (20), 

 e tenendo presente la (22), si deduce agevolmente: 



per cui, tenute presenti le (21), (23), (24): 



(30) [[fix] dx = ^ [f(a) + if[^')-{~f(b) 



- 1 jL(^ - ^)' ("^ - "t^) [ri^)+f.r(a-\-b-x)] 



dx. 



Ora, poiché nella foOj il polinomio che si trova sotto il se- 

 condo integrale non cambia segno, tra i limiti dell'integrale 

 stesso, si deduce agevolmente per l'espressione del resto, quando 

 f" {x) si mantenga finita nell'intervallo (a, b) : 



(31 ) L\ = - ^^ [f" {x) -f rr (a + b - x)l=^ , 



essendo E un valore compreso tra - ^ e b. 



Se f(x) è una funzione intera di 3" grado, l'espressione 



f" (x) -r f.r U^ + b - X) 



è identicamente nulla (; risulta, quindi, che la formola di Cava- 

 lieri-Simpson è rigorosa anche per una funzione intera di tale 

 grado. 



