RESTI NEI-LE FOKMOLE DI QUADRATURA 141 



Interessa rilevare, specialmente, che le forniole di quadra- 

 tura di Gauss rientrano nella formola (8). Si potrà dimostrare, 

 infatti, per diverse vie che se nella (8). supposto k = n, i va- 

 lori .r„, .r, , . . . .r„ sono radici dell'equazione: 



.102) X..i= ;~V[(-^-«)"""^-^ — ^)'"''l = «^ 



la (8) stessa è (iediu'ihiie, rigorosiunente con R = (». da funzioni 



intere di grad<^ ;/ -f- 1, ti -\~ 2 '2)i -f- 1, e potrà, pertanto, 



scriversi : 



(103) \''f{x)d.v = fAJ(x^] -r i\(!/)f'"'''U!/)dx, 



J" 1=0 J" 



nella quale la <p (,</) è sempre fornita dalla (7). 



I*er la dimostrazione si può ricorrere ad- un noto procedi- 

 mento che basterà ricordare. 



Una formola di quadratura può dedursi ovviamente scrivendo 

 il polinomio di interpolazione che assume i valori assegnati 

 /"i.Tol, f^Xiì, . . ..f(xj e integrandolo tra i limiti a e b. 



Ora, se supponiamo assegnati i valori : 



il04j fixo), f(x,}, f(x,), ..., fiv,,,^,), 



si avrà per il relativo polinomio di interpolazione: 



i (10;)) P2«+i(^)= 2 f(Xi)' 7 -— 



' ,=0 (ar, — aro) ...(a?i—a:,-i) (a?,— «,•+,)... (a?,— Xn) 



il ((uale, evidentemente, assume i valori (104) in corrispondenza, 

 rispettivamente, dei valori Xq, x^ , .... •y2*»n- 



Ma è noto che la (105), che non è che la foiniola di La- 

 ■^ grange, può pure scriversi sotto la forma: 



(lOb) /^2n+i(a:)= 1 -;^r^ j.^x.l\^i) 



in cui è : 



(107) y\) (.ri — (x — a:-,,) ... ir - xj . . . (x — .rg»^,) 



