144- GIUSEPPE VITALI 



Ebl)ene, anche senza fare ipotesi lestrittive sulla funzione 

 additiva, i teoremi di Fiolle e della inedia possono essere di- 

 mostrati purché si limiti convenientemente la natura del campo 

 in cui la funzione si considera. 



Dimostro il seguente teorema: 



Se J è un rettangolo ABCD e se f (t) è una funzione addi- 

 tiva definita in ogni campo t di J, clif ammette derivata finita in 

 ogni plinto di J e se f(.J)=:0, esiste un punto P di J in mi 

 f (P) = 0. 



Per ogni numero n intero e nìaggiore di zero si divida 

 ciascuno dei lati AB e BC in 2" parti uguali e per i punti di 

 divisione si tirino le parallele rispettivamente a BC ed AB. 11 

 rettangolo ./ resta allora diviso in un sistema di 4" rettangoli 

 a due a due uguali, che indicheremo con »S'„. Qualunque sia u 

 ciascun rettangolo del sistema S„ è costituito esattamente di 

 4 rettangoli del sistema 6'„_i. 



Poiché /■(/)=: 0, esisteranno due rettangoli x/, t/' di Ni 

 consecutivi (cioè con un lato cumuiie) per cui '' 



/•(V)>o /•(t/')<o. 



Poniamo 



Per le disuguaglianze precedenti esisteranno due rettan- 

 goli Tg', T2" di 82 consecutivi e contenuti in Tj per cui 



1 



Poniamo 



/•(t2')>0 /•(T2")<0. 



T2= Ta' + Ta". 



Per le disuguaglianze precedenti esisteranno due rettan- 

 goli T3', T3" di .S3 consecutivi e contenuti in Tg per cui 



Poniamo 



/'(T3')>0 /'(T3")<0. 



T3 = T3' + T3" 



e COSI via di seguito. 



