SULLE DERIVATE SECONDE DELLA FUNZIONE, ECC. 503 



distanza n dalla superficie s, e delle coordinate u, r del piedi- di 

 questa distanza. 



Se s è la linea del contorno di a, e v la normale diretta 

 verso l'interno di (J ; si ha la seguente formula integrale : 



(2) \ liA,[cf>.yp}da=-\ ]/>A,q> { A,[<p,h}{^,do-\ hl^'ds, 



.' O J fi f) "V 



la quale, nel caso che (T sia piana, si deduce immediatamente 

 dal lemma di Green, mutando una delle funzioni, che vi com- 

 paiono, nel prodotto di due. 



Ciò posto, le derivate prime della funzione potenziale 



JC) r 



rispetto alle coordinate del punto potenziato {x, </, 2) si possono 

 rappresentare mediante le (1). e quindi trasformare mediante 

 la (2). Si trova così : 



Questa formula riducendo la derivata alla somma di una 

 funzione potenziale di semplice strato e di una funzione poten- 

 ziale di doppio strato (oltre un integrale di linea, che non ha 

 influenza) ne determina subito le discontinuità. Un procedimento 

 analogo si applica, col metodo Neumann-Beltrami. a tutte le altre 

 derivate di qualunque ordine. 



Per poterlo applicare alle derivate seconde della 1', con- 

 viene prima ricordare, dalla citata Memoria di Beltrami, una 

 formula analoga alla (3) per la funzione potenziale di doppio 

 strato. Sia 



. ^' 



W=\ r/ , ' de 

 } Ci nn 



tale funzione. Si trova in questo caso 



a' 



ove P rappresenta un integrale del contorno. 



Atti (iella H. Aiiudemiu — Voi. LI. 33 



