M6 GIOVANNI VACCA 



III. Altri poligoni regolari. — Se in un circolo di raggio 1 



è inscritto un poligono regolare di 2w -f- 1 lati; se 0, 1,2 n 



sono n -f 1 vertici consecutivi ; .se indichiamo con A il punto 

 del circolo diametralmente opposto al vertice 0. ed indichiamo 

 con r, 2". .... w, le «corde Al, A2, ..., An. si hanno fi) le re- 

 lazioni : 



1-2-8- ...n- = 1; 1- — 2" + 3 — 4' + ... ± n' — 1. 



Valgono infine altresì n {n — 1)2 relazioni che si possono 

 riassumere nelle due : 



r" s* = {s — r)' + (/• j- s)' dove r <C s, r -\- s ^n 



)" s" = (s — r)' — (2« -f- 1 — ^ — s)' - •» , r -\- s'^n. 



Applicando queste relazioni si ha con semplici sostituzioni 

 successive : 



a) Pentagono regolare : r2' = l; 1' — 2'=:1; 

 quindi 1' e 2* sono le due radici della: x^ — x — 1=0. 



b) Eptagono regolare : 



l-2-3=l; 1— 2+-^' = l: — 1-2- — 2-3- + l-S" = — 2; 



quindi 1", — 2". 3' sono le radici (2) della: 



./■3 — :c2 — 2x4- 1 = 0. 



e) Ennagono regolare: 



1"2'3'4" = 1 ; 1*2'4" = 1 ; quindi 3" = 1 (come è evidente) ; 

 l-_2— 4- = 0; l-2- + 2'4- — l-4- = ~-3: 



quindi T, — 2', — 4" sono le radici (3) della: 



x=^ — 3.r — 1 = 0. 



(1) La seconda di queste relazioni si può dimostrare per es. ricorrendo 

 alle relazioni: r = 2 cos [riT/(2» -f- 1)] , ed esprimendo i coseni per mezzo 

 degli esponenziali. 



(2) Questa equazione, per la costruzione dell'eptagono, è stata scoperta 

 da Lodovico Ferrari, come riferisce G. Cardano nel suo Opus norum de 

 propori ioniì)us. Basilea, L570, p. 55: 



1 cu. p: 1 sequantur 1 quad. p: 2 pos. 



(3) Questa equazione, per la costruzione dell'ennagono, è stata scoperta 

 da, Scipione Ferro ; cl'r. G. Cardano, ibid., p. 99. 



