644 ALESSANDRO TERRACINI 



propongo di dimostrare in questa Nota. Precisamente dimo- 

 strerò il seguente 



Teorema. — Eccetto che per n = 2 e n = 4, Za forma qua- 

 ternaria generica di grado n si può rappresentare mediante la 



J 11 X esima J- (n + 1) fw + 2) (n + 3) + 6 H . 



somma delle potenze n®*""® di pn = 7,7 — forme 



lineari, dove r] è il minimo numero intero, positivo nullo, che 

 fa assumere a p„ un valore intero. 



Per n =: 2, w = 4 si ha invece rispettivamente, come è 

 ben noto, pa = 4, 794 = 10. 



Poniamo, essendo n un intero positivo, 



_ (n + l)(M4-2)(w + 3) + 6n 

 in 24 ' 



dove TI è il minimo numero intero positivo nullo, che fa as- 

 sumere a (/„ un valore intero; cosicché si ha ti = 0, se n è di- 

 spari, è ^ 6 (mod. 8), mentre per m^4, w^2, w^O (mod. 8) 

 si ha rispettivamente ri = 1, ti = 2, n = 3. Se p„ è il minimo 

 intero tale che la forma quaternaria generica di grado n si 

 possa esprimere come somma di p^ n"'""' potenze di forme lineari, 

 si dovrà avere 



Pn ^ qn , 



e p„ si può anche considerare (^), come si riconosce facilmente 

 (cfr. p. es. il n. 1 della mia Nota citata in (^)), quale il minimo 

 intero che soddisfa a questa disuguaglianza ed è inoltre tale 

 che, presi p,^ punti generici dello spazio ordinario, non esista 

 nessuna superfìcie d'ordine n avente in ciascuno di quei punti 

 un punto (almeno) doppio (*). Noi tratteremo precisamente il 



O Così, anche la proposizione relativa alle forme ternarie che ho ri- 

 cordato in principio è equivalente a quest'altra, di cui avremo a servirci 

 ripetutamente: eccetto che per « = 2, m = 4, non esiste nessuna curva 



1- A- . (»-H)( n + 2) + 4 e • • u ., ,• 



piana d ordine n avente — punti doppi in altrettanti punti 



6 



fiesati in modo generico, dove e è la stessa quantità che compare nell'enun- 

 ciato primitivo. 



(*) Parlando in seguito di punti doppi di superficie di curve, sottin- 

 tenderemo sempre che non è escluso che quei punti abbiano moltiplicità 

 maggiore. 



