SULLA KAPrRESENTAZIONE DELLE FORME QUATERNARIE, ECC. 645- 



problema così trasformato, e avremo assolto il nostro compita 

 quando avremo mostrato che, salvo clie per n = 2 e w = 4, 

 non esiste nessuna siipertìcie d'ordine // avente rj,^ punti doppi 

 in altrettanti punti generici dello spazio. Lascieremo poi da 

 parte i casi, notissimi, di n -- 2, n = 3, n=^ i (che si potreb- 

 bero del resto trattare, con qualche piccola modificazione, collo 

 stesso metodo che seguiremo in generale) e supporremo senza 

 altro «^5: procederemo per induzione, mostrando che, se 

 per ;< ^ 5 si ha p^ = qn, si ha anche pn+\=^qn+\- 



Lemma I. — Se in un sistema lineare co^ di superficie, Z, 

 acente la jacohiana indeterminata vi è un piano tt che appartiene 

 a oo2, ma non a tutte le superficie di Z, le parti residue delle oc^ 

 superficie contenenti n staccano su questo piano un sistema lineare 

 di curre di dimensione <C2, oppure una rete colla jacobiana in- 

 determinata. 



Assumiamo infatti un sistema di coordinate proiettive omo- 

 genee .ro, -fi, X2, X3, e sia .r,, =^ l'equazione di tt ; potremo 

 supporre il sistema lineare oc^ definito dalle quattro superficie 

 di equazioni XqP= 0, Xq Q = 0, XqR ^= 0, F^O, dove P, (?, K 

 sono forme di grado n — i nelle x, F e una forma di grado n 

 nelle stesse variabili, non contenente come fattore x^. Per ipotesi 

 sarà identicamente 



cioè 



ò(xoF, TqQ, XqR, F) 



= 0, 



dove si è posto Po 



ÒP 



àx() 



ecc. Sviluppando il primo membro 



secondo le potenze di ,ro. il termine contenente Xq^ risulta 



