SUI,LA RAPPRESENTAZIONE DELLE FORME QUATERNARIE, ECC. (549 



componente tissii passante pei punti /'. questi sarebbero sem- 

 plici per tale componente (giacche non esiste nessuna curva di 

 ordine <; » per cui i punti F siano doppi), e a fortiori vale 

 aneoia lo stesso ragionamento. 



Lkmma IV. — Se p„ = q„, s ^ q^ — x\ punti doppi in posi- 

 zione generica impongono alle superficie d'ordine n 4s condizioni 

 linearmente indipendenti. 



8i dimostra, per induzione, in modo perfettamente analogo 

 a quello che abbiamo tenuto nella prima parte della dimostra- 

 zione precedente. 



Teorema I. — Per le forme quaternarie del .0" ordine si 

 ha p5=: q5=: 14. 



Essendo q^, = 14, basterà provare che non esiste nessuna 

 superficie F^ del 5" ordine avente 14 punti doppi in altrettanti 

 punti generici dello spazio. Se una tale superficie esistesse, do- 

 vrebbe esistere almeno una F^ avente 14 punti doppi in altret- 

 tanti punti arbitrari, p. es. in 7 punti generici A^, A2, ...,A'j 

 dello spazio, e in 7 punti generici J5i, B^, ..., B^ di un piano 

 generico tt. Una tal superficie F^ dovrebbe contenere il piano tt, 

 perchè nell'ipotesi contraria la sua sezione con ir sarebbe una 

 curva piana del 5" ordine avente 7 punti doppi in posizione 

 generica, e una tal curva non esiste (cfr. la nota (■')). La F^\ 

 supposta esistente, si comporrebbe dunque del piano tt e di una 

 residua F*^ avente 7 punti doppi in Jj, A2, ..., A-i, e passante 

 per B^. Z?2' •••> ^7- I 7 punti doppi in posizione generica A^, 

 vlg, ..., A-i impongono, come è noto, alle superficie del 4° ordine 

 Li8 condizioni linearmente indipendenti (''), ossia le F'^ che hanno 



(*) Ciò si può verificare direttamente in questo modo : anzitutto vi è 

 una sola F* con 9 punti doppi in posizione generica, la quadrica Q per 

 quei punti contata due volte; giacche, se ve ne fosse un'altra, 4>, questa 

 non potrebbe contenere come parte Q ; si dovrebbe pertanto concludere 

 l'esistenza di una C" piana con due punti quadrupli e nove punti doppi in 

 posizione arbitraria (proiezione stereografica della C* intersezione di <t> e 

 di Q), e quindi anche l'esistenza di una C* piana con 10 punti doppi in 

 posizione arbitraria (che si potrebbe dedurre da quella C* con una oppor- 

 tuna trasformazione quadratica), esistenza che viene esclusa dalla nota (^). 

 Basta allora ragionare come nella prima parte del lemma III per conclu- 

 dere la proprietà enunciata. 



