')50 ALESSANDRO TKKKACINI 



quei 7 punti doppi costituiscono un sistema lineare gc", che 

 sega su TT un sistema lineare di quartiche piane pure od"; co- 

 sicché (^), per 7 punti generici del piano Bi, B^, .... B^ non 

 passa nessuna quartica del sistema, e perciò anche nessuna F^ 

 avente punti doppi in A^, A^, ..., A-j. 



Teorema IL — Se n>5 non è multiplo di tre, e se pH_i = qn-i, 

 si ha anche p^ = q,,. 



Consideriamo un sistema G di 7,, punti, formato da due 



gruppi A e B, dove il gruppo A è costituito da q,, — " — " "*" 



punti generici dello spazio, e il gruppo H da — --^~ - punti 



generici di un piano tt; e cerchiamo se, nelle ipotesi fatte, 

 esiste una superficie J^" avente come doppi tutti i 7,, punti 

 di G. Se una tal superficie esiste, si prova, come nelhi dimo- 

 strazione del teorema precedente, che essa deve contenere il 

 piano tt: il resto sarà dunque una superficie d'ordine n — 1, 

 F"~^, passante pei punti B e contenente come doppi i punti A. 



be 7„_x = -^r: , 1 punti A sono in numero di 



<U-i 



{n + 1) (n + 2) ri - Ti' 



: e pei valori di n considerati 



24 4 



la quantità sottratta da q^-i è > 3. Perciò (lemma IV) quei 



hi '\- \) (n + 2Y 



punti, come doppi, impongono 4 q^ V"„ì_-"A':i L"' condizioni 



linearmente indipendenti alle F"~'. Le F"'^ che hanno punti 



doppi nei punti A segano dunque il piano tt in un sistema li- 



A- A- ■ ^(«4-l)l« + 2) ' . ,. (n+l)(«+2) 



neare di dimensione < ~ ti — 1 : per gli -^ — ■ — - — — 



punti B, che sono generici sopra tt, non passa (v. la nota (')) 

 nessuna curva di questo sistema, e perciò anche nessuna super- 

 licie F"~^ contenente, come doppi, i punti A. 



Teorema HI. — Sen'^o è divisibile per tre, e se p,._2 = q,i_2, 

 p^_i = q„_i , è anche p» = q„ . Inoltre, si ha pg -- qg . 



Consideriamo un sistema G dì q» — 1 punti, formato da due 



gruppi A e B: il gruppo A sia costituito da q,, — ì!ì!L_l1 — 1 



(') Cfr. p. es. Bektini, op. cit. {■'), v. la p. 222. 



