SULLA APPliESENTAZlONl-: DELLE FORME QUATERNA UIE, ECC. 051 



punti generici dello spazio, e il gruppo F> da " '-q- punti 



.... . . «(«4-l)(»i + 2) + 6ri' • r , 



generici di un piano tt. >>e j„_i = -j- , ) {)unti A 



sono in nuMKM'o di 



qn-i 



nin±J>) , 3 + n' — n 



I "1 



24 ' 4 



dove la quantità sottratta da qn-i' per »> ó, è >3; possiamo, 

 poiché per ipotesi p,^_i =z q,^_^ , applicare ancora il lemma IV, e 



dedurre che i punti A impongono 4 (^„ — ~ -^' ij condi- 

 zioni linearmente indipendenti alle superficie F"~' d'ordine n — 1: 

 le F"~' che hanno punti doppi nei punti A costituiscono dunque 



un sistema lineare Zj di dimensione — - — -f~ - — H- D'altra 



b 



parte non esiste nessuna superficie d'ordine ti — 2 contenente, 

 come doppi, i punti A, giacche questi, come subito si verifica, 



sono in numero >> ^^-2 + "vy — 2, mentre abbiamo supposto 



p„_.2 = q.i-2- Se poi n ^= 6, i punti A sono in numero di 11, e 

 quindi anche in questo caso non vi sono F^ per cui essi siano 

 doppi. Il sistema Zi sega dunque il piano tt in un sistema Z/ di 



curve d'ordine n — 1, avente pure dimensione " ■ \- 2 — r| ; 



pei punti B che sono in posizione generica passano (cfr. la 

 nota (')) y:-~V curve di Zj'. cioè altrettante superficie di Z, . 

 Perciò, osservando che esiste in tt una sola 6'" piana per cui i 

 punti B sono doppi (lemma III), e che d'altra parte vi è certo 

 qualche F" per cui tutti i punti G sono doppi, senza che essa 

 contenga il piano tt (poiché quei punti doppi impongono alle F" 

 non più di i {q„ — 1) condizioni linearmente indipendenti, ossia 

 determinano un sistema di /•'" di dimensione ^3 — n), troviamo 

 intanto che le F" aventi punti doppi nei punti G costituiscono 

 precisamente un sistema lineare Z di dimensione .3 — r|- Avremo 

 dimostrato che p,^ = q,^, quando ci saremo accertati che in 

 questo sistema lineare non esistono superficie aventi un ulte- 

 riore punto doppio in posizione arbitraria, cioè che il sistema Z 

 non ha jacobiana indeterminata. Ora ciò è chiaro, quando n vale 3, 



