I,.'.2 ALESSANDRO TERRACINI 



oppure 2, perdio allora I è costituito da una sola superficie, 

 oppure è un fascio. Quando ri = l» se la jacobiana del .sistema Z 

 fosse indeterminata, le F"~^ di Zi passanti pei punti B dovreb- 

 bero segare in u una medesima curva (lemma II), mentre esse 

 segano un sistema oo^, o dovrebbero contenere tt, ciò cht- ab- 

 biamo già escluso. Finalmente quando ti == 0, poiché tt è segato 

 dalle F"~^ di Zi passanti pei punti B in una rete R di curve, 

 e non in un sistema meno ampio, se la jacobiana di Z fosse in- 

 determinata dovrebbe la rete R avere a sua volta la jacobiana 

 indeterminata (lemma I). Si presenterebbe dunque questo fatto: 



le i^"~' del sistema Zi (cioè le F"~^ aventi i qn — ^ "j" — 1 

 punti doppi A in posizione generica) segano ogni piano generico n 

 in un sistema lineare Z/ di dimensione -^^^ — ^ -j- 2, tale che 



b 



tutte le reti determinate in esso da "^^'^ — - punti base in po- 

 sizione generica hanno la jacobiana indeterminata. Di qui segui- 

 rebbe intanto che in uno generico di quei sistemi Z/, la C""' 



determinata da i*-i*_ [- 2 punti generici sarebbe riducibile 



(come appartenente ad una rete di C""^ avente la jacobiana 

 indeterminata), e sarebbe quindi riducibile la C"~^ generica 

 di Zi' (•'*). Le F"~^ del sistema Zi sarebbero dunque tutte a se- 

 zioni piane riducibili, e sarebbero perciò esse stesse riducibili. 

 Ora, non esiste nessuna superficie d' ordine <Zn — 1 su cui i 

 punti A siano doppi; se quindi vi fosse una componente fissa 

 (eventualmente anche riducibile) di tutte le F"~^ di Zj conte- 

 nente i punti A, sìa F'^, i punti A sarebbero semplici su tale 

 componente, e dovrebbero perciò appartenere ancora al resto. 



(*) Osservando che su ogni curva irriducibile di un sistema lineare oc'' 



si possono trovare h punti per cui non passano altre curve del sistema, si 



ha che su una C"~^ di Z/ supposta irriducibile, si potrebbero fissare 



«(«4-3) , _ ,. ,, ,, ,,__! ,. ^ , «(«-1-3) 



~ 1-2 punti per cui non passerebbero altre C" ' di i-j : 



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fra essi individuerebbero dunque, come punti base, entro 21/, un sistema 



lineare oo^ e non più ampio, e si potrebbero perciò assumere come punti B. 



Si giungerebbe allora alla conclusione che la C""^ considerata sarebbe 



riducibile. 



