ALCU.VE QUESTIONI SOGLI SPAZI TAXGENTl, ECC. G99 



Facciamo ancora, prima di procedere, le seguenti osservazioni: 

 a) Se sono nulle tutte le m, o tutte le r, la V^ è un cono. 

 Infatti in tal caso il sistema (!') assume la forma: 



\ T'*^■'=c.r"•' + .^,a••*»-hrt,•a; (i= 1,2, ...,/.•- 1), 



Ora, se A- > 3, una T',. che rappresenti un sistema di equa- 

 zioni di Laplace, di dimensione qualunque, contenente il si- 

 stema (l"i è un cono, come si scorge dividendo anzitutto \e x 

 per una stessa soluzione del sistema (1") e introducendo poi, 

 come nuovi parametri Oi^a^, ,0^, altrettante soluzioni indi- 

 pendenti del sistema trasformato, scelte solo in modo che nes- 

 suna delle loro derivate prime rispetto a t^ sia identicamente 

 nulla, cosicché il sistema (1 ") diviene: 



2 <^.-'*^ y^'a " = (i = 1. 2, ..., k). 



r^l ÒOr ÒOi ^ . » 5 / 



E poiché, come risulta da un facile calcolo : 



aj" aj> (T,/' 



(j,r (J/' a/' 



ajf=) \('i / a,„(fe) \(2' / a„ì<''') V'') 







= (m,« = l,2, ...,^; w=4=n), 



segue che — ^^- (m, n =^ 1,2, k) e funzione delle sole a,„, a„, 



e quindi anche (cfr. il n** 5 della Nota I) che la V^ e un cono (^). 



(^) Si giunge allo stesso risultato anche col seguente procedimento, do- 

 vuto in sostanza al Bompiani {Sistemi dì equazioni simultanee alle derivate 

 parziali a caratteristica, in questi Atti, voi. XLIX (1913 14), pp. 83131: v. il 

 n° 10 . Si faccia il cambiamento di variabili 



0, = q),(T,.T2, ...,Tfc_,) (< = 1,2, ... A; — 2); O^,, = Tfe_, ; aA = Tfc: 



dove le qp .sono funzioni soggette alla sola limitazione -r-, "> =+=0 ; 



d*ar 

 allora il sistema (1") trasformato mostra che n n si esprime linear- 



crk_, ó Ofc 



,■ à X ò X . (^'x Aii.^ ^ i. 



mente per mez/o di -^ , ^^ , x. mentre -r — ò- = 0: la rigata <Jj = cost., 



Oj = cost., ..., 0),_j = cost., ossia una generica oc' di rette della T'^ è svilup- 

 pabile, e perciò la 1\ è un cono. 



