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ALCUNE tiUESTIONl SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 701 



Ciò posto, confrontando le dut^ espressioni che dalle (!') si 

 ricavano per .r*'-'''' (i,j= 1, 2, ..., k — 1 ; t =t=/), si ricava: 



u, ( Vx}^^ - uj ( Vx}') + («/» - ;<,('' -f a,, u, — aj, u,) Fa; + 

 -f (e»-')-— a,, e — a,)a;<'> — (c<'' — a,-, e — a,) x'-'' -[-(...) .^^*> +(...) -^ = 



(/,y= 1, 2, ...,A;-1 :/=*=/). 



Si moltiplichi il primo membro di quest'equazione per 

 u, (/ = 1. 2, ..., k- — \ : l=\= i, l =4= /), poi si permutino circolarmente 

 gli indici i, /, /, e si sommi: si ottiene che le soluzioni del si- 

 stema (1) soddisfanno alla: 



.r('> x^->^ x<'^ ; . 



^,j^ Vx + e*"— a.*c— a, c'^) — a,,c— a, e'"— «,feC— a, ! -\-(...)x^''^-{-{...)x=0 , 



I Ui »j Ul 



(>•, 7, /= 1,2, ...,/.;- l;i=4=./=t=0, 

 dove si è posto per brevità : 



(^y, / = i,2, ..,^ — i;i=4=y=f=0- 



Ora, poiché nella relazione ottenuta non compaiono più de- 

 rivate del second'ordine delle x, applicando ancora losservazione 

 che la F^, non può verificare equazioni del 1" ordine, si con- 

 clude che quella relazione deve essere identicamente soddisfatta. 

 Sarà pertanto : 



(1 1 j A,^i e, ~{- (c(^) — (ijk e — Uj) Ut — ià'^ - (fik e — a,) Uj = 



(i,y,/=l,2, . ..,/;-- l;t=^y=!=0, 



(1 2) A.y r„. = {i,j\l,m=l,2,...,k—ì',i=^j^l=^ in). 



Tratteremo distintamente nei nn' 3-4 i due casi in cui le 

 quantità A definite dalle (10) sono tutte nulle, oppure no: nel 

 primo caso, come è noto, si potrà porre : 



(13) «. = ?/■•" (i = 1, 2, ...,/.• -1), 



