ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 703 



da cui segue : 



\ J;sV - ' t + (•••) 1^ + (■•■) " ('■ = !• 2. -. ^ - 2) , 



Quindi, poiché in queste ultime equazioni non compaiono 

 più derivate fatte rispetto a (Ji_i, ciascuna delle varietà di A; — 1 

 dimensioni rappresentata sulla Vk dall'equazione Ok—\ = costante 

 verifica quelle k — 1 equazioni di Laplace, e la forma di tali 

 equazioni (cfr. l'osservazione a) del n° 2) è sufficiente ad assi- 

 curarci che le Tt_i = cost. sono coni. La \\ è dunque una oo^ 

 di coni col vertice variabile, se, come abbiamo supposto, la V^ 

 non è essa stessa un cono : la V^ sviluppabile ha perciò una 

 curva direttrice. 



Viceversa ogni V^ sviluppabile, con curva direttrice, verifica 

 un sistema di almeno 2k — 2, e, naturalmente se è immersa 

 in uno spazio abbastanza ampio, in generale proprio di 2k — 2 

 eq. di Lap. lin. ind., k delle quali sono riducibili alla forma il'). 

 Infatti, la V,, contiene, oltre alla curva, una V^-i direttrice, 

 e questo caso fu già considerato nella nota (^\) della Nota I, 

 dove le prime k equazioni costituiscono precisamente un si- 

 stema della forma d') i\n cui sono scambiati ii e t*, T2 e Tjfc_i); 

 oppure le generatrici della V^ sviluppabile sono tangenti a 

 una Vk-\- In tal caso, assunto sulla Fjt_i un sistema di para- 

 metri Ti. Tg. ..., T;(_i , tale che i punti della curva direttrice di- 

 pendano solo da T;,_i, e che le linee della Ft_i su cui varia 

 solo T;,_i risultino inviluppate dalle tangenti che si appoggiano 

 alla curva direttrice, i punti // della V^-x si possono rappresen- 

 tare parametricamente mediante le : 



(14) ÌJ = a ('t,,T.2, ....Tfe_2)+J"<P'Ti, Tg. ..., Ta_2, Tfc_i") Ì (Tk_i) f/t^.^ 



dove la funzione cp (i) è la stessa per tutte le coordinate del 

 punto ìj. Quindi il punto generico x della Vk si può assumeie 

 sotto la forma : 



x = a (ti, T2, .... Tfc_.2) + I cp (ti, T2, ..., t*_i) h (Tk_i) dxK-x -j- 

 -(- Tk qp (Ti , T. , ..., Tk_, ) h (tfc.i) , 



