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e la Vh verifica il sistema della forma (1') : 



^ x"*) = *^*" xi'^) (è = 1 , 2, ..., k — 2) , 



dà cui discende a;('''"~" ^^ o (t = 1. 2 k — 2). Ne, in generale, 



la Vk rappresenta equazioni di Laplace che non siano combina- 

 zioni lineari di queste, come si scoige formando le ulteriori de- 

 rivate seconde di x. 



4. — Se invece non tutte le A sono nulle, cosicché sarà 

 certo k- = 4, con A123 =*= 0, sommando le tre equazioni che si 

 ottengono scrivendo la (11) per / = l.y = 2, ^ = 3, e permu- 

 tando circolarmente, moltiplicate rispettivamente per «1, «2, >h, 

 si ottiene : 

 (15) Wi v^ -\- u-i 1-2 4- Ih v-i = 0. 



Ora, poiché i rapporti tra le e non dipendono da t^ (oss. b) 

 del n** 2), esistono delle coppie di funzioni tra loro indipen- 

 denti, delle sole Tj, Tg, T3, e sia c^, a^ una di esse, tali che 

 FJ] = Fag = 0. Eseguita allora la trasformazione di parametri: 



(Jl r= (Ji (Ti, T2, T3) , 0. = a, fTi , T.,, Tg) , (Ta = Tg , (J4 = T4 , 



(il cui determinante jacobiano non è certo identicamente nullo, 

 almeno per una conveniente permutazione degli indici 1, 2, 3j, 

 il sistema (l'j prende la forma: 



Ì-^ ^ tal à'^x òx \ J, jr^ òx , Òx , 



,% \<)o,. do, òa,.J ,"^1 òo,- ' '* da^ ' 



= Ui v<i ^~ + a,4 ^^^ -f «4 j; U" = 1, 2, 3) , 



Dalle prime tre equazioni si ricavano per ^-ta e n - 



(t=l,2, 3) delle espressioni lineari omogenee in ^ — , -tt-, x, 



