ALCUXK 'QUESTIONI SUGLI Sl'AZl iANGKNTl, IX'C. 707 



Come risultato delle i-icerche contenute lu^i mi' •_!- 1 tro- 

 viamo dunque : 



Le Y k (k > 4) che rappresentano un sistema di d ai. di Lnp. 

 Un. ind. in cui è contenuto un sistema di k eq. Un. ind. le cui 

 forme associate ammettono uno stesso fattore Uneare (cioè le V"t(k!>4) 

 sciluppahili che rappresentano un sistema di d eq. di Lap. Un. ind.), 

 dove d = 6 per k = 4, g 2k — 2^d^3k — 4 per k > 4, sono 

 coni proiettanti da un punto una Vk-\ rappresentante d — k eq. 

 di Lap. Un. ind., o sono sviluppabili con una curva direttrice, op- 

 pure anche sono, se k := 4, costituite dai piani tangenti di una 

 superfìcie, o da ce- piani tangenti a una curva (^). 



Per k = A: le varietà enumerate in questo enunciato, in 

 quanto stiano in S,. con r > 8 e siano varietà generiche entro 

 ciascuno dei tipi indicati, forniscono tutte le V^ che risolvono, 

 nel caso a-^). il problema che è oggetto di questo capitolo. 



5. — Poiché il caso h), tra quelli distinti nel n" 1, si trova 

 già trattato come caso particolare nel n" 1 1 della Nota I. pren- 

 diamo a considerare i casi ri), c^). 



Xel caso Ci) si tratta di determinare le V^ che soddisfanno 

 a tutte e sole le equazioni del sistema ("): 



(17) 



' A:,^ AiX^J: g,,,,. a;'" -f g^n .r = . . / = 1 . 2 : m = :^, 4) , 



(") Se riconliamo (Segkk, loco cit. ["'). un' 22 e 29), che le ^generatrici 

 di una V^ sviluppabile toccano in generale A- — 1 Vk_i , ciascuna delle quali 

 può essere sostituita da una varietà di minor dimensione, incontrata dalle 

 j^eneratrici. vediamo che il risultato del testo, insieme con quello (Nota I, 

 n° 1) die le V,, (h>'^) sviluppabili rappresentanti </ < 2A; — 3 eq. di Lap. 

 lin. in-1. sono coni, mette precisamente in relazione la dimensione del si- 

 stema di eq. di Lap. rappresentate da una V^ sviluppabile, almeno quando 

 questa dimensione e sufficientemente bassa, colla minima dimensione delle 

 direttrici esistenti sulla T/t . Sarebbe interessante indagare se, e come, tale 

 relazione continui a sussistere quando la dimensione del sistema di eq. di 

 Lap. rappresentata dalla svilupp.iliile crosci- dltr^ il limite che noi abbiamo 

 considerato. 



Ci D'ora in ))0Ì s'intenderà clic gli indici variabili, senza ulteriori in- 

 dicazioni, dei -iegni di sommatoria |irend;ino i valori da 1 a 4. 



