ALCUNE QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, KCC. 711 



sviluppabile): tanto basta por conchiudere che gli x^ ,^4 tan- 

 genti alla ]\ nei punti di uj (tanti e non meno, perchè se no 

 la ]\ sarebbe sviluppabile) stanno in uno N5. E poiché gli S^ cia- 

 scuno dei quali tocca la ì\ lungo una superficie ai sono oo^ (se 

 fossero meno. la varietà W ricoperta dagli .S4 tangenti alla V^ 

 avrebbe dimensione minore di 7), segue che ciascuna delle uu 

 sta in uno S^, perchè, proiettando la F4 su uno -S'^, la proie- 

 zione <u' di una superficie ou deve stare nello spazio caratteri- 

 stico del corrispondente N5, entro la 00- considerata, ossia in 

 uno S^; né può una generica tu essere un piano (giacche nei 

 casi ^i) e t'2) entro il sistema oo-^ delle quadriche associate alle 

 equazioni di Laplace rappresentate dalla ì\ non è contenuto 

 alcun sistema lineare oc- formato dalle coppie di piani per ima 

 retta). 



Di pili, gli .S3 di appartenenza delle superficie uj. -s'^ che 

 sono pure ce'-, poiché altrimenti la ^4 risulterebbe una x' di S^ 

 e come tale rappresenterebbe già un sistema di sei 'eq. di Lap. 

 lin. ind. di forma diversa da quella che qui consideriamo, pas- 

 sano tutti per uno stesso piano. Per dimostrarlo, osserviamo 

 anzitutto che gli ^5 che toccano la F5' ricoperta dagli ce- S^ C^) 

 nei punti dello S^ di appartenenza di una superficie uu coinci- 

 dono collo 85 tangente alla ]\ lungo uj. come risulta dalla 

 proiezione in S^ di cui già ci siamo serviti. La varietà degli S^ 

 tangenti alla F5' è dunque identica colla varietà W-^ degli S^ 

 tangenti alla V^: e perciò la L^' rappresenta (^•') almeno do- 

 dici eq. di Lap. lin. ind.; d'altra parte non può F5' rappresen- 

 tare più di dodici eq. di Lap. lin. ind. perché allora i suoi spazii 

 osculatori avrebbero dimensione ■<; 8, mentre gli spazi oscula- 

 tori alla F4. che è situata sulla V^' hanno dimensione 8 : e 

 da ciò deduciamo (Nota 1. n" 9) che la V^' e uno S., — tono 

 genei-ico, e precisamente é costituita dagli ce- .S'., che da un 

 piano proiettano i punti di una superfìcie non rappresentante 

 nessuna equazione di Laplace. 



('*) Se tale varietà avesse diiuensione 4, any-ichi- ■>. *'>sii .^lUriplit- miu 04, 

 e sarebbe pure uno ."^^i la V,, considerata, il che contraddice alle nostre 

 ipotesi. 



(•3) Nota I, n" 4. 



