712 ALESSANDRO TKKKACINI 



Omettendo la elementare verifica della |)roposizione reci- 

 proca, e osservando solo che nei casi Cj). c^) le superficie uu ri- 

 sultano rispettivamente non sviluppabili o sviluppabili, con- 

 chiudiamo : 



Le V4 che risolvono il nostro problema nei casi e,), c^) sono 

 tutte, e sole, quelle costituite da 00'^ superficie rispettivamente non 

 sciluppabili e sviluppabili (ma non piane) situate negli S3 di 

 uno S2 — cono generico (S^ — cono proiettante da un piano una 

 superficie che non rappresenta nessuna equazione di Laplace). 



6. — InHne, nel caso Cj). si tratta di determinare le V^ 

 che soddisfanno a tutte e sole le equazioni di un sistema della 

 forma : 



' A.,, A,x-}-y: g,,..,. .r<^> + 9iu, X = il, m = 1.2) 

 \ A, A, X ^ Pi4 A.A.x^"^ gu, x^'' + .'7i4 x = 

 A^A^x^ P23 A.,A^x-r^ grAr x^'' +- f/as x = 

 yl4 ^2 j- -f P24 A^A^x ^^ g-ur r""' -^ //24 x = {) 



(21) 



con Pi4 P23 + P>4 =♦= 0. se la F4 . come supponiamo, non è svi- 

 luppabile. 



Applichiamo ancora l'identità Ai A„ A,„ x ^^ A„ Ai A,„ x -\- 

 + 2a„,r ^aH a;*'"'' a calcolare A,, A„ A,„ .r per Z. m = 1. 2 ; m = 8. 4. 



ricavando yl^ At A„, x dal primo gruppo di equazioni (21) me- 

 diante l'applicazione dell'operatore A^ ai due membri di queste 

 equazioni, cosicché risulta: 



(22) Al A^ A„,xr^j: a„,r ^>nis x'"^ — £ gr„i. «,., ar'"' 



''(/, w. = 1.2;h = 3,4). 



Operiamo poi con Ai,A2 sui due membri di ciascuna delle 

 ultime tre equazioni (21): si ricavano per x sei equazioni lineari 

 omogenee del terz'ordine, che, tenuto conto delle (22) si ridu- 

 cono al secondo. In particolare le tre equazioni di Laplace che 

 si ottengono operando con Ai e A^ sulla A^ A^ x -f- pj^ A^ AiX<^0 



