ALCUNK QUESTIONI SUGLI SPAZI TANGENTI, ECC. 713 



e con Al sulla A._ìA2JC f- P23 .J3 .^i -^ '^ <> hanno per forme as- 

 sociate lispettivamente : 



> «1^41— Tua4 -|-^i(p,4)aia3 t Pu^cti^si — Tu «3) faiTu 

 128,1 a, (p42--T»2«4 + ^42(pi4)oia3 4-p,,,(a,(p32-T,2a3) + a2Ti4 



' a, (p.o, - T., a., 4- .1, 1 P23) a, a^ 4- p^^ia^ (p;^i — f , , a^l + a, T23 • 



Le (2-i) in quanto devono essere combinazioni lineari delle 

 forme associate alle (21) si devono annullare pei- ai = ajj = (), 

 e siccome per aj = a^, = non è identicamente nullo a4H-Pi4a3, 

 dalla considerazione delle due prime fra le (23) segue che Tu 

 e Tii sono t-,ombinazioni lineari di Qj e a2, e poi. dall'ultima 

 fra le stesse (23), che tale è pure 'f.,j: quindi, poiché (Pi2 = T2i — 

 — T12. 9i2 si annulla per ai = a2 = (), ossia il sistema A^ F = 

 = AiF=() nella funzione incognita P' è ancora completo. E 

 la sostituzione a t,. T2, come nuovi parametri, di due soluzioni 

 indipendenti di tale sistema, permette (salvo una eventuale por- 

 mutazione di indici) di ridurre il sistema (21) alla forma: 



(24) 



x<'^' 4- p„ a-"=" ^ 

 x^''> -f P23 x''=" ^ 



Ora lo stesso ragionamento di sopra prova che nelle 

 ^(33) ,^ 0^ j.(34) ,.^ Q compaiono ti'a le derivate prime solo x^^\ .r'^' 

 e lo stesso avviene anche della ar'*^' • — ■ (poiché - colle nota- 

 zioni iniziali — basta a dimostrarlo la possibilità di esprimere 

 in funzione lineare di x, delle derivate prime, e di A3 A^ x (op- 

 pure di ^4.12^) 1^ tre espressioni A-^A^x, A^ A^ x, e AxA^x 

 (oppure .43^2^;). possibilità che risulta assicurata dall'ipotesi 

 P14P23 + P24 = <•)• Le superficie Tj = cost., T2 = cost. sono dunque 

 piani : la V^ è una oo^ di piani, e precisamente, come mostiano 

 le (24) una x^ di piani lungo ciascuno dei quali essa ammette 

 uno S5 tangente fisso. 



In questo caso però, a differenza di quanto avveniva nei 

 casi Ci), C2), l'ipotesi che la \\ rappresenta sei sole eq. di Lap. 



