TEOREMI SU MASSIMI E MINIMI UEOMETKICI, ECC. 8d5 



Indicando con tti'\ na", ... le aree delle faccia della superficie 

 poliedrica e con r^, r.,, ... le distanze (con segno) di esse dal 

 punto arbitrario P, la detta relazione può anche scriversi 



(a) T,- i^i^ri + TT2^''2 + •••) = costante ; 



opperò, per il teorema del n. 1. il luogo descritto da P è nor- 

 male al vettore 



[b] 3"= Tt/^ grad;. r, + tt^o gradp /-g + ..., 



perchè, differenziando la (a), si ha Xy^dP=0. 



Siccome gradp /•, è un vettore unitario normale a tt^ e volto 

 verso il semispazio, limitato da tt^, i cui punti hanno da questo 

 piano una distanza positiva, risulta così dimostrata completa- 

 mente la P parte della proposizione enunciata. 



Osservato che i singoli termini di JV, e quindi anche tutto 

 il vettore JV (b), non dipendono da P, si trae che le superficie (a) 

 sono piani paralleli fra loro. 



Se il vettore N non è nullo, cioè il 1° membro della ((7) 

 non è sempre costante, tale 1° membro può variare da — 00 

 a -[-00. Invero, essendo un punto fisso arbitrario, per 

 P= 0-i-xX si ha 



PK + TTo + ...) = (tTi -f- TT, + ...) 4- ^3^K + ^2 + •••), 



ove 3"'(tti 4- ^2 + •••). per l'ipotesi fatta, non può essere nullo, 

 e quindi P(tTi + ^2 "H •••) ^1 variare di x può assumere qualsiasi 

 valore positivo negativo. 



Supposto che le faccie ttj,tt.^,... t'ormino una superficie 

 chiusa, che limita un solido (poliedro) S, è facile riconoscere che 

 il 1° membro della (a), per P arbitrariamente scelto, rappresenta 

 il volume di -S' quando le distanze positive da ogni faccia siano 

 determinate dalla normale a questa faccia volta verso l'interno 

 (p. es.) di S. 



In tale ipotesi la relazione («) è identica od impossibile 

 secondochè il suo secondo membro è uguale diverso dal vo- 

 lume di S'; ed il vettore (è) è identicamente nullo. 



