856 MATTEO BOTTASSO 



9. — Il teorema vale pure per una superficie non polie- 

 drica, cioè si ha: 



Data una superficie Z limitata da un contorno s, il luogo dei 

 punti P per cui è costante il volume limitato da Z e dal cono di 

 vertice P ed avente come direttrice s, è un piano. La normale co- 

 mune a tutti questi piani è parallela al vettore ^w-dZ, essendo ti 



un vettore unitario diretto secondo la normale all'elemento dZ^ ove 

 si convenga che il volume del cono di base dZ e vertice P sia po- 

 sitivo negativo secondochè P è situato, rispetto al piano di dZ, 

 dalla banda secondo cui è volto il vettore ìi, o dalla banda 

 opposta. 



Se la superfìcie Z è chiusa e limita uno spazio S, il volume 



dianzi considerato espresso da -^ n X (P — M).dZ, essendo M. 



un punto dell'elemento dZ di Z, è indipendente da V ed è uguale 

 al volume di S. 



Per la dimostrazione della P parte basta sostituire, in 

 quella esposta nel n. 8, alle faccie tti. tto, ... della superficie 

 poliedrica gli elementi dJ. di Z. 



Nell'ipotesi della superficie chiusa, si ha {Élém.. p. 105 (2). 

 p. 73(è)) 



\\^nX{P-M).dT = -\ [^div,/(P-J/).c/S=|^^>S. 



e. d. d. 



VI. 



10. — Se un punto P si muove in guisa che rimanga co- 

 stante l'area della superfìcie poliedrica formata dai triangoli aventi 

 per vertice P e per basi i lati d'una poligonale data, esso descrive 

 una superfìcie. La normale a questa superfìcie e diretta secondo la 

 risultante delle forze applicate in P, dirette normalmente ai lati 

 della linea poligonale e d'intensità proporzionali a questi lati. Se 

 per un punto P l'area è minima questa risultante è nulla. 



Questo teorema è pure un caso particolare del teorema I, 

 perchè se l^, h, ... sono i lati della data poligonale ed r^, r-i, ... 

 le distanze di essi da un punto P. il luogo di punti considerato 



è quello definito dalla relazione f{P) = ^ {liri-\- Lr.2 -r ...)=cost. 



