TEOREMI SU MASSIMI E MINIMI GEOMETRICI, ECC. 857 



11. — Se si sostituiscono ai lati della poligonale gli ele- 

 menti ds = moddQ d'una linea .s. si ha: 



Se un punto P si muove in ifuisa che rimanga costante l'area 

 della superficie conica avente P come vertice e come direttrice una 

 linea finita s, esso descrive una superficie. La normale a questa 

 superficie è parallela al vettore fgradj. niod [{P — Q) A dQ], ore l'in- 

 tegrale va esteso a tutti i punti Q di s, ossia al vettore Jgrad/. r.ds, 

 essendo r la distanza di P dalla tangente in Q ad 3. 



Se per un punto P l'area indicata è minima, il detto vettore 

 è nullo. 



VII. 



12. — Abbiasi nello spazio una superficie fissa T, ed un piano 

 variabile tt che incottivi la superficie Z secondo una linea chiusa s. 



Sussistono allora le proposizioni seguenti (nn. 12-18): 



Se il piano n si muove in guisa che il volume limitato dal 

 piano TT e dalla superficie Z sia costante, il punto di contatto del 

 piano TT coli' in viluppo è il baricentro dell'area piana a limitata 

 dal contorno s, intersezione di questo piano colla superficie Z. 



Indichiamo: con tt una forma di ?j^ specie che individua 

 (colla sua posizione) il piano mobile k, il quale limita con Z una 

 parte finita di spazio <S, di volume costante v, e detta forma sia 

 tale che la distanza (con segno) d'un punto qualunque Q dal 

 piano TT sia espressa (p. es.) da ()tt : sia poi P un punto gene- 

 rico della superficie piana finita cr, limitata da ò\ e dc5 un ele- 

 mento d'area di tale sezione contenente il punto P. Essendo 

 allora tt -f- c/n una forma di 3^ specie che individua un qualsi- 

 voglia piano dell'inviluppo, descritto da tt, infinitamente vicino 

 a questo piano, si ha P(tt -|- dti) = Pdrx = h (poiché Ptt = 0), 

 ove h è la distanza (infinitesima) di P dal piano tt -\- du. 



Allora, se 2 è la lunghezza del segmento di perpendicolare 

 a TT condotta per P. compreso fra i piani tt e tt -I- f?TT, ed a è 

 l'angolo (infinitesimo) formato da questi due piani, la varia- 

 zione hv subita dal volume '• nel passaggio dal piano tt al piano 

 TT -(- f/TT, è espressa da 



br=| qda=\ -!^da= ^ I rdn.da= "^ (idn, 

 jo J o cos a co> a j cos a 



ove G = I PdO è il baricentro dell'area (J. 

 lo 



